(3) получает наибольшее или наименьшее значение; при этом, конечно, предполагается, что F есть заданная функция от х, у и у'. В рассмотренном выше примере
F(x, У, У') — У J/1 +/2 • Решение этой общей задачи осуществляется совершенно так же, как в рассмотренном примере, и приводит для определения у к дифференциальному уравнению второго порядка: или в раскрытом виде: dF d2F d2F, d2F ду дхду дуду' & dy'2 Это и есть так называемое уравнение Эйлера-Лагранжа. Его решение 2/=/*(ж, а,&) (4) содержит две произвольные постоянные а и 6, к-рые обыкновенно определяются из того условия, что кривая (4) должна проходить через заданные две точки, а иногда из других дополнительных условий.
Указанный метод может быть распространен в различных направлениях; функция, стоящая под интегралом, может содержать производные высших порядков, что приводит к дифференциальному уравнению более высокого порядка; вместо того, чтобы проходить через две данные точки, искомая линия может иметь концы на данных кривых и т. д.; иногда ищется несколько линий, так что стоящая под интегралом функция зависит от вида нескольких неизвестных функций, — такие задачи приводятся к решению системы дифференциальных уравнений; наконец, и число независимых переменных может быть более одного, — геометрически такая задача может быть истолкована, как отыскание нек-рой поверхности (в случае двух независимых переменных); аналитически же такая задача приводится к решению уравнений с частными производными.
Необходимо отметить, что указанный нами прием дает только необходимые условия наибольшего или наименьшего значения интеграла. Изыскание достаточных условий составляет вторую, наиболее трудную задачу вариационного исчисления.
Во многих случаях, однако, самые элементарные соображения уже позволяют установить, что найденное решение действительно отвечает всем условиям задачи. В последние годы в этой области достигнуты значительные новые результаты (см. последнее из ниже указанных сочинений).
Методы В. и. с течением времени находят себе все больше и больше применений в области математики, механики и теоретической физики (см. Вариационные методы).
Лит.: Элементы — Е горов, Д. Ф., Основания вариационного исчисления, М., 1923. Более полные курсы — Е. Goursat, Cours d'Analyse, t. Ill, P., 1915; О. В о 1 z a, Vorlesungen liber Variationsrechnung, Leipzig, 1909. Исследования последнего времени — L. T о n e 1 1 i, Fondaraenti di calcolo delle variazioni, Bologna, 1921.
A XUH4UH.ВАРИАЦИОННЫЕ ДВИЖЕНИЯ, у растений, см. Движения растений.
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ в механике и физике, совокупность приложений вариационного исчисления (см.) к проблемам механики и физики. Источником В. м. служили, с одной стороны, философские тенденции, с другой — стремление установить единое начало для вывода дифференциальных уравнений любого механического или физического процесса.
Начало В. м. положил еще Ферма в своих математических исследованиях о распространении света. В современной терминологии рассуждения Ферма можно формулировать следующим образом. Если через v обозначим скорость распространения светового луча, как ее понимали в теории истечения, то при прохождении световой частицы из одной точки в другую в однородной среде (т. е. при постоянном v), равно vs, где $ — длина траектории.
Интеграл поэтому достигает минимума при прямолинейной траектории. Объясняя этим прямолинейное распространение света в однородной среде, Ферма выдвинул в качестве основного начала, что свет при переходе из одной среды в другую или при прохождении в неоднородной среде распространяется таким образом, что этот интеграл, взятый по всей траектории, между двумя ее точками имеет наименьшее возможное значение. Исходя из этого принципа, Ферма вывел установленные ранее опытным путем законы отражения и преломления света. Этот принцип чрезвычайно гармонировал со взглядами на целесообразность в природе, составлявшими переходную ступень от теологического миропонимания к материалистическому. Эти взгляды получили особенное распространение в 18 в.
Развернувшееся механистическое миросозерцание искало корни законов механики в тех же телеологических принципах. Отсюда возникла тенденция изыскать для механики такое же основное положение, какое Ферма установил в оптике. Первое достижение в этом направлении принадлежало Мопертюи. Дифференциальные уравнения свободной материальной точки в силовом поле, как известно, имеют вид:
d2x
d2y
dU
dU
d2z
где U — силовая функция. Они интеграл U + h, где
dU
(1)
имеют (2)
<3) есть кинетическая энергия движущейся материальной точки, a h есть постоянная (интеграл живых сил). Мопертюи показал, что дифференциальные уравнения (1) выражают необходимые условия, чтобы интеграл
Р1
J/2 (С/4—1)" ds
(4) 26*
