ДИНАМИКАВводя из равенства (24) координаты центра тяжести, представим ур-ия (43) в виде fix + fix + ••• + fnxj
М д/d
+ Ъу + ••• + fny\
dt2—113 ll 2Z >
(45)
IT InSJ
т. e. центр тяжести тела движется так, как если «бы в нем были сосредоточены все силы, действующие на тело. Это предложение дает нам основания рассматривать движение центра тяжести тела как движение материальной точки и позволяет проверять законы движения материальной точки этим путем, к-рый является единственно возможным, т. к. мы можем наблюдать не отдельные материальные точки, а только тела. Ур-ия (44) можно также с помощью обозначений s и d (ст. 438) привести к виду: Tt = d<46> Результирующий (главный) момент вращения всех сил определяет т. о. приращение общего вращательного импульса тела. — Важнейшие применения находит себе теория движения твердого тела в теории движения волчка, т. о. твердого тела, к-рое вращается вокруг одр . й оси настолько быстро, что все его остальные движения являются по сравнению с этим очень медленными. В этом случае общий вращательный импульс равен вращательному импульсу относительно этой оси, и законы движения становятся особенно наглядными (см. Гироскоп и Гиростат).
V. Теория Гамильтона-Якоби.
ф
Канонические величины состояния и канонические уравнения движения. Выполняя диф ференцирования в равенстве (39), можно обнаружить, что обобщенные компоненты импульса р19 Рг> • ••, Pi являются однородными линейными функциями от компонент скоростей q19 q29.,. 9 ql Pi = 2 (audi + a12q2 + ... + a^i);...
... Pi = 2 4 — Uzii* 4- ... 4 — a>ii<li), где ... айсуть известные функции от q±... ф.
Разрешая эти ур-ия относительно q19 q29...» qi, можно представить обобщенные компоненты скорости как функции величины р1? р2, ..., рг и 7г, •••, 7г — Так. обр. заданием этих 21 величин рг — и qi вполне определяется положение и скорость системы с I степенями свободы. Эти 21 величин называются «каноническими величинами состояния» системы. Все функции от положения и скоростей системы могут быть выражены как функции канонических величин состояния. Можно напр. выразить через эти величины энергию системы L 4 — V. Получающаяся при этом функция И носит название Гамильтоновой функции системы: L+V = H(q19 q2t..., qf, р19 p29... 9Pi). (48) € помощью этой функции можно привести Лагранжевы ур-ия движения к т. н. «каноническому виду», впервые указанному Гамильтоном.
Дифференциальные ур-ия второго порядка (38) для I величин q19 q29... 9qi заменяются 21 дифференциальных ур-ий первого порядка для 21 канонических переменных. Эти ур-ия имеют вид: = ЭН dq2=0H dt — ОрГ dt~dpi", t dpi___ dH dp:i _ 0H dt ~ dqv ’ di dqz '**Их общее решение можно получить, если величины q19 q29 ..., qi9 р19 р29 ..., Pi известны как функции от времени t и 21 произвольных постоянных. Для этого достаточно, чтобы для нек-рого момента t0 задать систему значений величин qr ... qi, Pi -^Pi, т. e. начальное состояние системы. Динамическая каузальность в смысле ст. 428 заключается при этом в том, что значениями канонических величин состояния для некоторого момента <0 однозначно определяются их значения для всего дальнейшего времени.
Траектории и волновые поверхности. Мы ограничиваемся сначала движением отдельной материальной точки, причем вводим прямоугольные координаты х, у9 в. Рассмотрим для этой механической проблемы (при нек-ром заданном потенциале сил V) такое семейство траекторий, чтобы через каждую точку пространства проходила одна и только одна из них.
Картина напоминает картину линий силового поля, где каждой точке также соответствует определенное направление силы. Положим далее, что можно построить семейство поверхностей, к-рые заполняют пространство и в каждой точке перпендикулярны к соответствующей траектории. Эти поверхности относятся к семейству траекторий, как ур-ие поверхности к силовым линиям (ст. 434). При этом моя' определить такую функцию положения у, у, #), к-рая играет для траектории ту же роль, что потенциал V для силовых линий. Если напр. направление траектории в нек-рой точке определять тремя компонентами импульса
Pi/ = mTt’ ?’ = тТГ <50> то по аналогии с ур-ием (8) функция 8 должна удовлетворять ур-ию dS
Vx — qx,
dS Ру~~ду’
dS ^z~~ dz‘
(V
Функцию 8 называют «функцией действия» траектории, а поверхности 8 (х9 у9 в) = Const — волновыми поверхностями.
Это название связано с отмеченной Гамильтоном аналогией между определенным выше семейством траекторий и семейством лучей света в геометрической оптике. Перпендикулярные к лучам света поверхности суть волновые поверхности света. Для функции 8 легко составить дифференциальное ур-ие. Положим общую энергию материальной точки L 4 — V равной нек-рой постоянной Е9 тогда для Гамильтоновой функции должно удовлетворяться ур-ие Н(х9 у, z9 рХ9 ру9 pz)=E. Подставляя сюда вместо рХ9 ру9 pz их значения из равенства (51), получим для 8 т. н. «дифференциальное ур-ие Гамильтона-Якоби в частных производных»: TJ, dS н
\х, у9^ Тх9 ds
dS\
Т2)=Е.
В семействе траекторий указанного рода очевидно содержатся не все траектории, ибо через каждую точку пространства проходит в каждом направлении по траектории. Так как определенное направление в данной точке можно определить. двумя числами, напр. двумя углами, то Мы получим все траектории, если для каждого из этих возможных в нек-рой точке направлений будем разыскивать то семейство, к к-рому данная траектория принадлежит. Мы получим т. о. множество семейств рассмотренного вида, каждое из к-рых определяется заданием двух чисел, скажем ах и а2.
Если для каждого из этих семейств разыскать
