с реальных (и притом в исходном пункте алгебраических) операций, эти математики так и не доходят до выяснения подлинного значения и специфической роли Д. в дифференциальном исчислении, вводя Д. чисто искусственным и условным образом: из соображений симметрии, «экономии мышления» и т. п. Точка зрения Ньютона и Лейбница при этом признается принципиально неправильной, но практически удобной и даже незаменимой в процессе математического творчества.
Подойдя к задаче обоснования дифференциального исчисления с точки зрения материалистической диалектики, Маркс дает такое логическое обоснование Д., к-рое, являясь одновременно историей его математического возникновения и развития, вскрывает подлинный смысл и значение дифференциальных символов и сущность того диалектического перехода, к-рый приводит нас от алгебраического дифференцирования (и производной функции) к д ихф ференциальному исчислению (и Д.). Дифференциальный ~ символ du возникает принтом первоначально как символический эквивалент производной функции в процессе получения к-рой — для основных элементарных функций, в первую очередь алгебраических, — специфическая символика дифференциального исчисления и характерный для него алгорифм не играют еще никакой роли. Роль этого символа, числитель и знаменатель к-рого, в отдельности взятые, в методе Маркса по величине равны нулю, но к-рый сначала имеет смысл только в целом, состоит пока лишь в том, что он фиксирует в явной форме происхождение и путь, ведущий от первоначальной функции у = f(x) к ее производной /'(ж) — Результат благодаря этому рассматривается в связи с путем, к нему ведущим. Дальнейшее развитие того же «алгебраического» метода дифференцирования, который приводит к дифференциальному символу как вторичному продукту нек-рого реального математического процесса — du его символическому эквиваленту ~, — ведет с необходимостью к перевороту в методе, в результате к-рого исходным пунктом становятся сами дифференциальные символы, и задача оборачивается: ищется уже не символич. эквивалент реального процесса, а реальный эквивалент дифференциального символа. Лишь тут мы вступаем на собственную почву дифференциального исчисления, и основным понятием становится Д.
Весь этот переворот в методе Маркс прослеживает на простом примере дифференцирования произведения: y = uz, где и и z сами являются функциями независимого переменного х. Применяя к этому слуцаю тот самый метод «алгебраического дифференцирования», к-рый ранее давал на одной стороне «реальную» производную f'(x), а на другой — ее символический дифференциальный коэффициент, мы получаем здесь: т. е. символические дифференциальные коэффициенты фигурируют на обеих сторонах выражения и нет свободной от символов стороны.
В соответствии с этим меняется однако и самый смысл этих символов: из простых эквивалентовуже выполненных реально дифференциальных операций они превращаются в указателей таких операций, к-рые лишь надлежит еще произвести^ и формула (1) приобретает новый смысл оперативной формулы: она дает нам стратагему (военную хитрость) действия, которую мы можем применить при нахождении производной такой функции, к-рую можно представ вить в виде произведения двух других функций*, производные к-рых мы умеем уже находить.
«Символический дифференциальный коэффициент, — пишет Маркс, — становится таким образом самостоятельным исходным пунктом... Но тем самым и дифференциальное исчисление выступает как некоторое специфическое исчисление, уже самостоятельно оперирующее на своей собственной почве. Ибо его du dz исходные пункты суть лишь ему принадлежащие и его характеризующие математические величины. И это обращение метода получилось здесь как результат алгебраического дифференцирования uz. Таким образом алгебраический метод сам собой превращается в противоположный ему дифференциальный»(Маркс, Математические рукописи, «Под знаменем марксизма», 1933, № 1, стр. 28).
Однако полного завершения этот переворот в методе достигает только с переходом к дифференциалу dy = f'(x) dx, к-рый Маркс рассматривает лишь как другую форму для выражения — =/'(#). В самом деле, лишь в результате такого перехода от соотношений в дифференциальных коэффициентах к соотношениям вД. dy и dx оперативные формулы достигают своей наибольшей общности, независимой от выбора независимой переменной. Формула (1} превращается при этом в формулу: dy = zdu + udz, (2} и эта формула остается справедливой при дифференцировании не только по х, но и по любому др. переменному, от к-рого х может зависеть..
Собственно говоря, как только мы получили формулу ^ = f'(®), мы уже были вправе перейти от нее к дифференциалу dy = f' (х) dx, где dy и dx разделены.
Ибо, хотя рассматриваемое по величине это выражение в методе Маркса дает лишь 0=0, однако связанных с делением на нуль парадов ксов и трудностей при этом не получается, т. к.
dy и dx никогда не выступают иначе, как в этой своей символической форме; благодаря чему от соотношения dy = f\x) dx мы всегда можем1 вернуться обратно к породившему его выражению ^-= /'(#), между тем как в выражении.
0=0 стерся всякий след его происхождения и развития. Однако обоснованным по существу и действительно необходимым этот переход становится лишь после того, как выяснена природа соотношений между дифференциальными символами и оперативный смысл основных формул дифференциального исчисления. «Дифференциал от у есть таким образом конечный пункт алгебраического развития; он становится исходным пунктом движущегося на собственной почве дифференциального исчисления. dy, рассматриваемое изолированно,^ е. без своего эквивалента, — дифференциальная частица от у (die Dii’ferentielle von у) — играет тут сразу ту же роль, что ку в алгебраическом ме-
