соответствующих Д. у. и их интегрированию.
Этим объясняется и чрезвычайно важное значение Д. у. в теоретической разработке ряда технических дисциплин.
Обыкновенные Д. у. Если Д., у. содержит функции только от одной независимой переменной, то оно называется обыкновенным.
Его общий вид: у,£...... ^)=°С) Оно носит более определенный характер, если оно разрешено относительно производной высшего порядка, т. е. имеет вид: =f у
. dx ^ уХ .
/1 ач dxM / 2/, dx, n~L) via' В таком виде напр. обычно записывают ньютоновские Д. у. движения. Порядок высшей производной называют порядком Д. у. Простейшими из Д. у. являются Д. у. 1 — го порядка: (2) или ^x-f(x, y).
(2а)
В случае, когда в правую часть последнего ур-ия не входит у, мы имеем обычную задачу интегрирования функции, обобщением которой является задача интегрирования Д. у. Имеем: = f(®), откуда dy = /(ж) dx и у = J* f(x) dx + С, где С — произвольная постоянная. Задача интегрирования Д. у. сводится к задаче интегрирования функции (как говорят, решается в квадратурах) ив некоторых других наиболее простых случаях. Пусть например правая часть ур-ия (2а) не содержит х. Имеем: й “ «»)’ 0ТКУда W) “ dx и f$) “ х + с — Это соотношение определяет у как функцию от х и произвольной постоянной О, т. е. является общим интегралом исходного Д. у. Точно так же если правая часть Д. у. представляет собой произведение функции от у на функцию от х, то ур-ие можно решить в квадратурах, применяя т. н. метод разделения переменных. Имеем: откуда ~^ = <p(x) dx и f
<p(x) dx + C.
Это и есть общий интеграл нашего Д. у.
Во всех разобранных случаях мы получили общее решение, содержащее произвольную постоянную. Для получения частного решения, соответствующего определенному значению этой постоянной, обыкновенно задают начальные условия, к-рые для Д. у. 1 — го порядка пишутся так: для х = х0 функция у должна иметь заданное значение у0. Соответствующее численное значение С определяется из ур-ия 2/о= f(®o, О* Число типов Д. у. 1 — го порядка, разрешимых в квадратурах, невелико (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения и т. п.). Возникает вопрос, существует ли решение в общем случае и определяется ли оно однозначно начальными значениями. Ответ дает теорема о существовании решения Д. у., доказанная впервые Коши. Она утверждает: если правая часть ур-ия (2а) есть однозначная и непрерывная функция от х, у, вблизи начального значения(®о, 2/о), удовлетворяющая еще относительно У т. н. условию Липшица: [У') — f(x, у") \<к\у'-у"] (к — постоянная), то существует единственная функция у = <р(х), удовлетворяющая ур-ию (2а) и условию: уг) = <р(х0).
Доказательство этой теоремы при помощи метода последовательных приближений, данное Пикаром, позволяет вычислить решение с любой степенью точности. Аналогичные результаты имеют место для Д. у. n-го порядка (1): здесь общее решение зависит от п произвольных постоянных. Для однозначного определения частного решения необходимо задать п начальных условий; именно при х = х0 д. б. заданы численные значения функции у и ее производных; кончая : у = yQi у' ~ у'о, = где 2/о, 2/о, ..., Уо(П г) — данные числа.
В качестве примера рассмотрим Д. у. (второго порядка), к-рым определяется движение брошенного вертикально тела массы т. Если обозначить через у высоту этого тела, через у ускорение силы тяжести и через t время, то это Д. у. напишется так: = -W или ^ = -<7.
Отсюда 57 в ~ yt + Ci, У = — | — h 4 — С2.
Для определения значений Сх и С2, соответствующих именно движению в данном конкретном случае, нужно для начального момента £ = О задать положение тела yQ и его скорость v0; подставляя эти значения в выражения для У И находим т/0 = Сг, (^) о = v0= Сг. Таким
образом ур-ие движения тела, или общий интеграл исходного Д. у., имеет вид:
У-t/o + M-V’ . Оказывается далее, что не все решения Д. у. исчерпываются частными интегралами; существуют и т. н. особые решения, не получаемые из общего ни при каком значении произвольной постоянной; соответствующие кривые проходят через те точки плоскости (х, у), в к-рых нарушается условие Липшица. Для Д. у. первого порядка особое решение геометрически представляет огибающую семейства интегральных кривых, даваемого общим решением. Пример: Д. у. у — уу' — у'2 = 0 имеет общее решение у = Сх+С2 (семейство прямых); особое решение его у = — - — (парабола, огибающая это семейство прямых).
Из обыкновенных Д. у. наиболее изученным классом являются линейные Д. у., т. е. такие, в к-рых искомая функция и ее производные входят в 1-й степени. Общий вид линейного Д. у. n-го порядка: ад(И> + «12/(П — 1) + ... + а>п — 1У' + апу = 7, (3) где а0, ..., ап, 7 — данные функции от х.
Если 7 = 0, то линейное Д. у. называется однородным, в противном случае — н еоднородным. Для однородного уравнения легко доказываются теоремы: если функция у есть решение Д. у., то функция Сух тоже есть его решение (С — постоянная); точно так же, если уг и у2 — решения Д. у., то и уг + yt есть решение. Т. о. для нахождения общего решения однородного линейного Д. у. достаточно найти п частных решений: ylf y2t ..., уя
