ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
589 откуда
С dx Г 2tdt clx = 2tdt и JI — г. — 177= / Г+7з = (1 + х) /а + (! + «) /а — f t+t = 2f r^ = 2arctgt + C = 2arctgp/f+^+ С. л
Интегрирование по частям выражается формулой J*udv = uv — j*v du (где u и v суть функции от ж), получающейся интегрированием дифференциальной формулы d(uv) = udv + vdu.
Например: пусть в
^ж In xdx тогда
w=ln х, dv = xdx,
, t dx л, x2 du = -, V = -g-,
следовательно, i j x2 i P x2 dx x2 i M x2 .
x In xdx= — Xn. x — J-g- — = -2 — lnaJ — -y +
J
+ С = ^(1пш — 1)+С.
Обширный и важный класс функций, интеграл от к-рых всегда выражается конечной комбинацией элементарных функций, представляют рациональные функции где
f (х) = а^т + + ... + aw, <Р (х) = Ъохп + М”"1 н- ... + Ъп суть многочлены (т и п — целые положительные числа). Если знаменатель <р(х) — постоянное число, то дело сводится к нахождению интеграла от многочлена. Опираясь на приведенное выше свойство интегралов (свойство 2), можно легко доказать, что интеграл от многочлена равен многочлену же, степень к-рого на единицу больше интегрируемого многочлена. Интеграл от рациональной функции В(ж), знаменатель к-рой ср (ж) отличен от постоянной, найти труднее. Интегрирование такой рациональной дроби связано с разложением ее на сумму целого многочлена и т. н. элементарных дробей, т. е. дробей вида и , интегрирование к-рых всегда можно выполнить в элементарных функциях. Самое разложение рациональной функции на элементарные дроби, как доказывается в высшей алгебре, всегда возможно (чтобы фактически произвести такое разложение, необходимо знать корни знаменателя рациональной функции; в высшей алгебре даются способы, при помощи к-рых можно найти эти корни с любой степенью точности). Так, напр.:нечно много интегралов от конечных комбинаций элементарных функций, не выражаемых через какие-либо другие конечные комбинаций функций, к-рые, в силу их особой употребительности, принимают за элементарные. Таковы эллиптические интегралы (см. Эллиптические интегралы и функции), «интегральный логаР dx Csin xdx рифм» I «интегральный синус» J — и др.
Многие такие функции, играющие большую роль в приложениях И. и., изучены не хуже элементарных трансцендентных функций. Вычисления таких интегралов производят при помощи бесконечных рядов или бесконечных произведений элементарных функций. Так, напр., / sin xdx ВЫражают через бесконечный ряд следующим путем: представляют sin® в виде .
X X3 . х5 Х7 бесконечного ряда sin х = 4- ...
sin хх2 . х4
х6
,
и, следовательно, = 77 — зг+^г~тг + ••• В теории рядов (см.) доказывается, что такой бесконечный ряд можно почленно интегрировать, что и приводит нас к представлению интеграла через бесконечный ряд: Г sin xdx __х__ х3 х5 ___ х? J х~"“11 BTB’I’SIS 7! 7 ”
Нахождение определенных интегралов.
Во многих случаях определенный интеграл функции / (ж), непрерывной на отрезке [а, &], в пределах от а до Ъ, т. е. ъ
п
(жг — Cf(x) dx = lim п->сог=1
g
можно найти непосредственным вычислением предела, к к-рому стремится интегральная сумп ма f (£/) (xi ~ жг — 1) (гДе xi ~~ xi-i — элементарг=1 ные отрезки, на к-рые разбивается отрезок интеграции [а, &]; ^- — произвольные точки на отрезках жг — жг-_г), когда наибольший из отрезков Ж/ — жг_! стремится к нолю, а число п таких отрезков стремится к бесконечности.а
Чтобы вычислить, напр., J^2 dx, разбиваем [0, а] о на п равных частей жг- — жг-_х = ~ и составляем для /(ж) = ж2 интегральную сумму, выбирая за например, правые точки отрезков [жг-_х, же-]: П - ®г_1) = - ш0) +г=1
+ ж22(;г2 — «0 + ... + х% (ж„ (а\2 а
. /2а\2 а
,
=
/па\2 а
J х* — а* ~~ J L 4а3 (х — а) 4а3 (х + а) — 2а2 (Х2 + а2) ] ~ 4а3 (ж“ а) “ (х + а)~
~~ \П J П “Г* \"тГ/ п + •••+ п“ = (-£)’ [12 + 22 + 32+ ... +п2] =
-24arctS^ + (7 = ^[41n^-arctgy + C.
а3 (2п + 1)(п+1) п а3 /9, 1\Л . 1\ --------- 6------- — = Т Г + пД1 +nJ — Среди алгебраических функций многие также берутся в конечном виде, напр., функции, зависящие рационально от У ах2 + Ъх + с и х или только от рациональных степеней дроби Просто интегрируется ряд трансцендентных функций, вроде рациональных функций синуса и косинуса. Однако, указанная задача И. и., вообще говоря, неразрешима. Имеется беско Геометрически эта сумма представляет собой сумму площадей п прямоугольников (рис. 1), описанных вокруг параболы у = ж2. Переход к пределу, когда оо, дает точное выражение искомого интеграла:
