ИНТЕРПОЛЯЦИЯфункцию / (х) наложены количественные ограничения. Предположим, напр., что вторая производная функции не превосходит по абсолютной величине некоторого числа: | f" (ж) К М.
В этом случае f (х) для точки ж, лежащей между Xi и жг-+1, удовлетворяет неравенствам а — е f (ж) «С а 4-е, где положено a = f (жг) 4+Р — г ].«=f (®-ъ) (®м - ®) — Вполне естественно выбрать за приближенное значение / (ж) среднее арифметическое между верхним и нижним пределами допустимых значений /(ж), т. е. величину а. Формула для е дает оценку ошибке, к-рую можно совершить, полагая, что f (ж) = а. Полученная формула линейной И. (а линейно зависит от ж) имеет очень широкое применение, в частности, ею обычно пользуются при определении промежуточных значений функции по табличным данным (иногда, впрочем, для этой цели приходится пользоваться формулой Ньютона, см. ниже, при п = 2).
Более сложными интерполяционными формулами имеет смысл пользоваться лишь в том случае, если есть уверенность в достаточной «гладкости» функции, т. е. в том, что она обладает достаточным числом не слишком быстро возрастающих производных. Наиболее известна интерполяционная формула Лагранжа: Рп(х) = =V
f (х } (зс~Хо) <Х~ХЭ — к' (Xk-XoHXk-Xj...
Zj 1
(x~xfc-i)
fc=0
(х~-хк+1) — <х-хп) .
(Х]й-Хп) ’
Ошибка, совершаемая при замене функции f (ж) выражением Рп(ж), не превышает М(х~~хо)
(x-xj ...
(х-хп)
(п + 1)!
гдеМ — максимум абсолютной величины(п4—1) — ой производной, /(п+1)(ж) функции/(ж) на сегменте [ж0, жп]. Выражение Рп(х) есть не что иное, как единственный полином, принимающий в п 4—1 точках жг — заданные значения Уг = /(х^.
Чаще всего имеют дело с тем случаем, когда точки Х/ расположены на равных расстояниях (ж, = ж0 + г/г). В этом случае полином Рп(ж) можно записать так (формула Ньютона):
Рп (х) = У„ +
(Ж - ®.) +
(х-ха) (rc-ajj) 4-...
• • • + niJin (® ®о) (X Xi) ... (X X<n_i), где Дл обозначает разность Л>го порядка: = Дл — 12/г+1 “ В тех случаях, когда нет возможности оценить остаточный член, не следует увлекаться употреблением интерполяционных полиномов очень высокой степени;если число точек жг — очень велико, то лучше разбить интервал (ж0, жп) на части и интерполировать в каждой части отдельно. Если значения yi = f (жг) получены в результате наблюдений и включают в себя ошибки наблюдений, то следует вместо точной И. определить по данным yi многочлен Рк (ж) не слишком высокой степени (к<п), мало уклоняющийся в точках Xi от заданных значений, по способу наименьших квадратов (см. Наименьших квадратов способ).
К практической задаче И. примыкает чисто математическая теория сходимости интерполяционных формул к заданной функции при неограниченном увеличении числа точек жг-.
Эта теория с наибольшим успехом развивается для функций комплексного переменного (работы Норлунда и др.).
Лит.: СтеффенсенД. Ф„ Теории интерполяции,
М. — Л., 1935; КрыловА. Н., Лекции о приближенных вычислениях, 3 изд., Л. — M., 1935; ХотимскийВ., Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов (способ Чебышева) и таблицы для нахождения уравнений параболических кривых, Москва — Ленинград, 1925; О чисто математических проблемах: Norland N. В., Lemons sur les series d’interpolation, Paris, 1926.
J.. Колмогоров.
2) И. применяется в статистике при решении задач, в к-рых дается ряд сопоставленных значений взаимосвязанных величин и требуется определить промежуточные значения, отсутствующие в данном сопоставлении. Так, напр., дано сопоставление численности колхозов и размеров коллективного посева (данные 1929 по СССР): Численность Размер пос. площади колхозов в % в га к итогу 10................................................
10, 7 10—30..........................................
17, 9 30—70 ..........................................
27, 3 70—150 ..........................................
28, 4 150—310..........................................
12, 3 310—630 ..........................................
2, 8 Свыше 630—1.270 ......................
0, 6
При помощи И. можно, например, определить численность колхозов в %: а) с посевной площадью до 50 га (43, 6%), б) с посевной площадью от 50 до 100 га (26, 2%), в) с посевной площадью от 100 до 150 га (14, 5%). Метод И. был использован В. И. Лениным в его работе «Развитие капитализма в России». Несмотря на то, что данные отдельных уездов и губерний были настолько разнообразно разгруппированы, что не поддавались непосредственной сводке, В. И. Ленин, пользуясь И., дал общую сводку имевшегося в его распоряжении материала земской статистики и построил таблицу, ярко характеризующую классовое расслоение деревни.
