содержащая не силы, а лишь ускорения и массы, позволяла Герцу развить целую систему М., основанную лишь на понятиях пространства, времени и массы и совершенно не опирающуюся на понятие силы (механика Герца); однако это учение не дает никаких преимуществ по сравнению с обычными методами механики Ньютона и дальнейшего развития не получило; значение же его для физики оказалось ничтожным. Общие принципы М. могут одинаково применяться как к системам твердых тел, так и к деформируемым (упругим, жидким и газообразным) телам. Лагранж в «Аналитической механике» первый показал, что уравнения принципа возможных перемещений и принципа Д'Аламбера могут быть применены к сплошной среде, и тем связал воедино динамику Твердых и жидких (или газообразных) тел. Применение принципа Гамильтона и других вариационных принципов в теории упругости и в гидродинамике сейчас весьма распространено. Изложенные принципы динамики представляют собой дальнейшее развитие и обобщение законов Ньютона.
Специальные проблемы механики. Наиболее важными из специальных проблем динамики ’ являются: задача о колебаниях, задача об устойчивости движения и задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку (см. Колебания). Эта проблема выдвинута развитием современной техники (увеличение быстроходности машин, колоссальный рост авиации, развитие транспорта).
Задача о колебаниях. Теория малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия была разработана Лагранжем в «Аналитической механике». Дальнейшие исследования как свободных, так и вынужденных колебаний производились Лапласом, Фурье, Якоби, Леверье, Пуассоном и др. В 1855 вышло классическое сочинение Редтенбахера (1809—67) «Die Gesetze des Lokomotivbaues»; в этом сочинении, невидимому, впервые было обращено внимание на важность явления резонанса в технике, и теория колебаний была применена к технич. задаче о колебаниях паровоза. Вопрос о влиянии сил сопротивления на свободные и вынужденные колебания системы в общем виде был рассмотрен Релеем (Rayleigh). В его сочинении «Theory of sound» (первое издание вышло в 1877) классич. теория малых колебаний представлена уже в виде завершенной дисциплины. Поскольку силы сопротивления обусловлены сопротивлениями среды, а также и, гл. обр., силами внутреннего сопротивления в материале колеблющихся тел, то удовлетворительного разрешения этих вопросов можно ожидать лишь при дальнейшем развитии наших экспериментальных и теоретич. знаний о механизме сил сопротивления и физике материалов. Экспериментальное изучение колебаний в машинах и сооружениях представляет в наст, время весьма обширную и быстро развивающуюся область науки о колебаниях. Приборы, служащие для измерения и записи колебаний, весьма разнообразны и многочисленны; применяются не только механические (виброграф, торсиограф и пр.), но и оптические и электрические, фотоэлектрические, радиотехнические и другие методы регистрации, обнаружения и усиления колебаний. Говоря о теории малых колебаний, нельзя не упомянуть о тех методах упрощения расчета колебательных процессов, к-рые (в связи с вопросами распространения электромагнитных колебаний и другими задачами математич. физики) были введены (1893—94) в науку Хевисайдом (О. Heaviside) и разработаны рядом математиков под именем операционного или символич. исчисления. Эти методы сводят задачу расчета колебаний к некоторым простым алгебраич. операциям; особенно удобно их применять при расчете колебаний под действием импульсивных сил. — Теория конечных (не весьма малых) колебаний системы представляет значительно бблыпие трудности и не только не может считаться в какой-либо мере завершенной главой М., а, наоборот, представляет одну из наиболее актуальных ее проблем. Основные свойства малых колебаний, т. е. изохронность колебаний, возможность представить колебательный процесс в случае действия периодической возмущающей силы как наложение свободных и вынужденных колебаний, принцип суперпозиции вынужденных колебаний, создаваемых отдельными возмущающими силами, возможность представления свободных колебаний системы с несколькими степенями свободы в виде суммы главных колебаний, — все эти свойства являются следствием (линейности тех дифференциальных уравнений, к-рыми описывается движение. Для колебаний конечной амплитуды эти уравнения уже нелинейны, и ни одно из указанных свойств не имеет места. Вместе с тем нелинейность уравнений в величайшей степени затрудняет возможность решения задачи. Основные вехи строгого подхода к проблеме нелинейных колебаний намечены в классич. сочинении Ляпунова А. М. «Общая задача об устойчивости движения» (1892, переиздано в 1936) и в трудах А. Пуанкаре (1854—1912) (PoincarC Н., Les methodes nouvelles de la mCcanique celeste и Sur les courbes, d^finies par les equations diff6rentielles, 1892).
В последней работе Пуанкаре дал методы «качественного исследования» характера решений дифференциальных уравнений, позволяющие предвидеть нек-рые общие свойства этих решений без фактического их нахождения.В самое последнее время и для наиболее простых случаев эти методы были успешно использованы для решения некоторых технич. задан (Андронов, Мандельштам и др.). В других же случаях для решения задач о нелинейных колебаниях, возникающих в технике, пользуются математическими, далеко не безупречными, решениями, проверяя полученные выводы экспериментально. Из технически наиболее важных задач о нелинейных колебаниях следует упомянуть задачу о вынужденных колебаниях при наличии нелинейных восстанавливающих сил, задачу о вынужденных и свободных колебаниях при наличии сил . трения и сил сопротивления, пропорциональных нек-рой степени скорости, и др. Решение первой из этих задач (весьма несовершенное математически) было дано в 1918 Дюффингом и дало объяснение явлению «срыва амплитуд» при нек-рых частотах возмущения. Количественный метод, применяемый для исследования колебательных процессов при нелинейно зависящих от скорости силах сопротивления, принадлежит Ван-дер-Полю. — Методы решения задач о колебаниях линейных систем с периодически изменяющимися с течением времени параметрами (квазигармонич. колебаний) также были разработаны в астрономии (Эйлер, Гилйг^ Пуанкаре, Ляпунов), прежде чем технич. практика поетанила эти задачи в механике. Наиболее характерной чертей колебательных процессовэтого рода явдяет<Мвозможность т. н. параметрич. резонанса; резонанс (точнее говоря, возможность потери устойчивости движения) здесь может иметь место не как следствие внешнего возбуждения, а при значениях параметров самой системы, лежащих в определенных областях (см. Параметрический резонанс). Технические приложения теории колебаний столь разнообразны и многочисленны, что здесь можно лишь вскользь перечислить несколько задач..
Крутильные колебания валов. Если бы вращающийся вал был абсолютно твердым телом, то насаженные на вал массы (маховик, ротор генератора, гребной винт, кривошипные механизмы и пр.) имели бы одинаковую угловую скорость; вследствие упругости вала различные сечения его будут скручиваться неодинаково, и на вращение системы накладываются вращательные колебания вокруг оси вала — «крутильные колебания». На это явление было обращено внимание в конце 19 в. после ряда поломок гребных винтов. Фрам (Frahm), исследовавший в 1902 ряд этих аварий, указал, что причиной их послужили сильные крутильные колебания, возникшие при резонансе собственных колебаний системы и возмущающих сил двигателя. Теория крутильных колебаний, основанная на ряде схематизаций (невесомый вал с насаженными на него массами постоянного момента инерции и др.), оправдываемых технич. практикой, в наст, время весьма полно разработана для свободных колебаний и менее совершенно — для расчетов резонансных амплитуд вынужденных колебаний. Если учесть переменность во времени «приведенных моментов инерции» кривошипных механизмов двигателя, то вопрос значительно усложняется — дело сводится уже к задаче о квазигармонич. Колебаниях, рассмотренной в применении к этому случаю Е. Trefftz’ и Н. Е. Кочиным. Интересно еще отметить, что современная техника поставила в порядок дня также задачу о нелинейных крутильных колебаниях*, избежать резонанса в условиях все растущей быстроходности становится все труднее и труднее; поэтому стали применять для соединения валов особого рода «нелинейные» муфты с целью создать систему с собственной переменной частотой, зависящей от угла закручивания, и тем самым вывести систему из резонанса.
Задача о поперечных колебаниях стержней в машиностроении возникает, гл. обр., в связи с расчетом лопаток паровых турбин, турбинных валов, конденсаторных труб, изделий на станках и пр.; в строительной технике — это вопрос о колебаниях рамных фундаментов, мрстой и. др., Исторически наиболее интересным достижением теоретич. мысли в этом вопросе было создание в 1894 Л. Фепплем теории гибкого вала турбины Лаваля — удивительное свойство гибкого вала самоцентрироваться при весьма больших угловых скоростях получило весьма простое и наглядное объяснение. Задача о колебаниях мостов была поставлена в 40 — х гг« 19 в; Стоксом в связи с работой комиссии, исследовавшей причины аварий нек-рых мостов. Стокс дал решение задачи, в к-рой он пренебрегает массой балки (моста), а упитывает лишь массу движущегося груза.
В работах акад. А. Н. Крылова и Тимошенко этот вопрос исследуется при противоположном предположении — рассматриваются колебания балки под действием движущейся силы. В самое последнее время (1933) задача о влиянии подвижного груза на балку вновь поставлена в исследовании Штейдинга (Steuding), в котором учтены все упомянутые факторы.
Вопрос о качке судов на волнующемся море в наиболее общем случаев когда курс корабля составляет любой угол с направлеййём движения волны, решен А. Н. Крыловым в труде «А general theory of the oscillation of a ship on waves», к-рый может служить примером применения общих методов механики к технич. задаче. Интересно отметить, что наименее разработанными задачами технич; теории колебаний являются те задачи, в к-рых речь идет о влиянии движущейся среды (воздуха, воды и пр.) па
