СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
будет стационарным состоянием для всей системы, а собственное значение энергии газа Е будет просто равно сумме энергий всех частиц. Поскольку все частицы одинаковы, такое стационарное состояние полностью характеризуется числом частиц Nm, обладающих значением энергии В случае статистики Ферми-Дирака эти числа могут равняться только 0 или 1; для частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна, они могут быть любыми. Среднее число частиц с данным значением энергии равно (6)
efer±l причём 4—1 в знаменателе соответствует статистике Ферми-Дирака, а — 1 получается для статистики Бозе-Эйнштейна. Обычная статистика Больцмана, не учитывающая принципов симметрии или антисимметрии, приводит к аналогичной формуле, но без единицы в знаменателе. Рассматривая излучение как фотонный Газ, можно получить из выражения (6) формулу Планка, причём приходится только принять во внимание характерную для фотона связь между энергией и импульсом и неопределённость числа частиц. Для обычного газа со статистикой Ферми-Дирака при низкой температуре среднее число частиц на каждом уровне практически равно единице, пока энергия sw меньше хим. потенциала, и равно нолю для остальных — значений энергии. Это означает, что N наиболее низких уровней энергии осуществляются с вероятностью, близкой к единице, тогда как остальные не встречаются вовсе, причём каждому из N первых уровней соответствует только одна частица (принцип Паули). Теплоёмкость газа при этом получается очень малой. При высоких температурах такое «вырожденное» распределение частиц по их энергии переходит в распределение, совпадающее с выводами статистики Максвелла-Больцмана. (Если не учитывать принципа симметрии или антисимметрии, то выводы квантовой статистики идеального одноатомного газа полностью совпадают с выводами классич. статистики, так что вырождение целиком связано с принципом Паули.) Свободные электроны в металле можно в известном приближении рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака.
Этот газ оказывается сильно вырожденным уже при обычных температурах, что объясняет целый ряд казавшихся раньше загадочными обстоятельств, напр., исчезающе малую теплоёмкость электронов в металле.
Флюктуации. Как уже говорилось, средние значения величин, характеризующих систему (средняя энергия, среднее число частиц в определённом объёме), в С. ф. равны равновесным значениям тех же величин в обычной термодинамике. Однако значения этих величин всегда не совпадают с их средними значениями, для них имеют место отклонения от средних значений (флюктуации), эти отклонения лишь в среднем равны нолю.
С наличием флюктуаций связан ряд явлений (см. Флюктуации), обнаруженных и исследованных экспериментально. Эти явления долгое время оставались непонятными, т. к.
они по существу противоречат формальной термодинамике при догматич. понимании равновесного состояния. Объяснение флюктуационных явлений могло быть дано только уже в рамках статистич. теории, с точки зрения к-рой они неизбежно должны иметь место в любой системе. Принципиально все флюктуационные явления могут рассматриваться с помощью обычных методов статистич. теории теплового равновесия, т. к. здесь также идёт речь о вычислении средних значений физич. величин — средних квадратов отклонения какой-либо величины от её равновесного (термодинамического) значения. В целом ряде случаев, однако, прямое вычисление оказывается слишком громоздким; гораздо быстрее приводят к цели особые методы, введённые Смолуховским и Эйнштейном. Эти методы основываются на применении принципа Больцмана и имеют то преимущество, чю интересующие нас величины — средние квадраты флюктуаций — связываются через термодинамику с непосредственными данными опыта — эмпирич. константами, к-рые не всегда могут быть вычислены теоретически. Оказывается, что для системы с заданной температурой вероятность случайного отклонения ~ hT
W=const • в удаётся связать с работой А, к-рую нужно затратить, чтобы перевести систему из равновесного состояния в неравновесное, т. е. с соответствующим изменением свободной энергии системы. Для адиабатически замкнутой системы существует аналогичная связь между вероятностью какого-нибудь состояния W и его энтропией 8, к-рую часто пишут в виде S = k • InTT + const.
(7) Эта формула представляет собой общую формулировку принципа Больцмана. В тех случаях, когда можно определить энтропию системы (или её свободную энергию), принцип Больцмана может быть обоснован с помощью общего метода Гиббса. С помощью принципа Больцмана удаётся связать величину флюктуаций плотности в жидкости с её сжимаемостью. Флюктуации плотности могут измеряться экспериментально по рассеянию света. В своё время эти эксперименты были использованы для определения постоянной Больцмана (и числа Авогадро).
Процессы. Газы. Подобно статистике равновесных состояний, статистич. теория процессов — кинетика — начала своё развитие с теории газов, причём первый период её развития связан также с именем Больцмана.
Классическая кинетич. теория рассматривает газ, состоящий из частиц, взаимодействие между к-рыми сводится к редким соударениям. Основным здесь является понятие о длине свободного пробега частиц, т. е. о среднем расстоянии, к-рое частица проходит свободно между двумя последовательными соударениями с другими частицами. Для обычных газов при комнатной температуре и атмосферном давлении это довольно малая величина — порядка 10~5 см. При понижении давления газа соударения становятся реже и длина свободного пробега растёт, достигая 1 см при давлении около 10'2 мм Hg (для водорода). Если длина свободного пробега мала
