абсолютный дифференциал его может быть представлен в следующем виде: «г;,..;/1-.;*• •'W, <si> где величины
ду • Pl“Pq «!••*? — У ’ PvPqp ®_
V У • Pf*Pa. _, У “1,,£Ьр — к<в.. ар
х
у-Pl--Pqp а> г — у *1. . ш х уар ~
+ 7а‘ 1’*«р — Д1--<»р усо ' ‘ к ai'-dp х уса£<7(22) \M', J являются компонентами тензора т 4—1 валентности, называемого ковариантной производной тензора Vai.. a Операция ковариантного дифференцирования повышает ковариантную валентность тензора на единицу. Ковариантное дифференцирование суммы, разности и произведения тензоров подчиняется формальным законам обычного дифференцирования. Операция ковариантного дифференцирования переместительна с операцией свёртывания. При повторном ковариантном дифференцировании мы получаем тензор, называемый второй ковариантной производной, к-рый, в общем случае, не симметричен по индексам дифференцирования. Его альтернирование даёт: V[<3 Vy]
V af. — dpвисеть от пути, по которому оно производится, т. е. от кривой, соединяющей соответствующие точки Ln. Зависимость отображения локальных Е„ от пути, вдоль к-рого оно производится, эквивалентна тому, что при отображении локальных Еп вдоль замкнутой кривой мы получим, вернувшись в исходную точку, нетождественное отображение локального Е„, соответствующего этой точке, самого па себя. Совокупность этих отображений, соответствующих всем возможным замкнутым контурам, проходящим через данную точку, образует группу, называемую Картаном группой голономии.
Рассмотрим отображение локальных Еп вдоль бесконечно-малого замкнутого контура
5a = ^ + e/a(t), (28) где е -> 0; /®(0) = /а(1) = 0.
Вернувшись в исходную точку, мы получим отображение соответствующего ей Е„ самого на себя, определяемое формулами (27), где Рд и Ра, вычисленные с точностью до членов второго порядка относительно в, будут равны следующим выражениям: 1
f(t)/>(t) dt, о
иду<» V<li--*pр*=- e2S^a^7A(t)/'"(t) dt.
ay • Pl- -Bq — Udyap yai-. a> w 4, 0dy где p
у ’ Pl--Pq va)»/a1.. ap
- дГ & дГ“ & гг"Р = ytt___ 4 — г Р Г °> _ р Р р <° (94) дУл др д(о уа у(О 1дл — тензор, называемый тензором кривизны Римана-Кристоффеля, и — тензор, называемый тензором круче ния.
Геометрический смысл тензоров кривизны и кручения. Отображая последовательно локальные Еп, соответствующие бесконечно-близким точкам, вдоль нек-рой кривой £а =£“(£), мы получим отображение двух любых Еп> соответствующих точкам этой кривой. Аналитически дело сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений <^ + Г^'^ + <^=0
(26)
с начальными условиями 'Ха (tc) = _Х“, решения которой могут быть представлены в виде: 'Хл = РрХ^ + Ра, (27)
где РрИ Ра суть функции t.
Формулы (27) определяют аффинное отображение локального Еп, соответствующего начальной точке кривой M(f0), на локальное Е„, соответствующее произвольной точке кривой М(0. Отображение друг на друга двух локальных Еп, в общем случае, будет за (29)
о Эти формулы дают геометрия, смысл тензоров кривизны и кручения.
Еп можно рассматривать как частный случай Ln, если каждой его точке отнести в качестве локального Еп само Еп, а отображение локальных Еп определить тем, что считать соответствующими точки, являющиеся одними и теми же точками исходного Еп. Очевидно, что отображение локальных Еп в этом случае не будет зависеть от пути. Обратно, всякое Lnt для к-рого отображение локальных Еп не зависит от пути, с этой точки зрения можно рассматривать как Еп. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы отображение локальных Еп не зависело от пути, заключается в обращении в ноль тензоров Параллельное перенесение векторов. Отображение локальных Е„ определяет соответствие между векторами различных Еп, Соответствующие векторы называются параллельными, и само установление соответствия называется параллельным перенесением векторов. Параллельное перенесение векторов зависит — так же как и отображение локальных^ — от пути, по к-рому оно производится.
Как можно показать с помощью формул (28) и (29), параллельно переносимый вектор 7а при обходе бесконечно-малого замкнутого контура (27) вернётся в исходную точку с приращением:
AF“ = -
f (30) о
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы параллельное перенесение вектоVfi
