доченным называется множество, для элементов которого установлены понятия «предшествовать» и «следовать» (или быть меньше и больше), удовлетворяющие следующим условиям: 1) Из двух различных элементов а и b данного множества М один, напр., а, предшествует другому b и тогда b следует за а.
Это обозначается так: а<Ь или Ь>а (читается: а предшествует Ъ или b следует за а).
2) Если а<Ь и Ь<с, то а<с.
3) Всякое подмножество М (т. е. всякая часть М) имеет первый элемент, т. е. элемент, предшествующий всем остальным элементам подмножества. Множество всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастающей величины: 1, 2, 3,... вполне упорядочено; то же множество при условии, что большее из двух натуральных чисел считается предшествующим меньшему: ..., 3, 2, 1, не будет вполне упорядоченным. Действительно, ни одно бесконечное подмножество его не имеет первого элемента. Два вполне упорядоченных множества называются подобными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие, не нарушающее порядка элементов (т. е. такое, что для любых двух элементов а и b множества М и соответствующих им элементов а' и Ь' множества М' одновременно выполняются либо соотношения: а<Ь и а'<Ь', либо соотношения: а>Ь и а'>Ь'). Называя отрезком вполне упорядоченного множества М множество элементов, предшествующих произвольному его элементу а, можно доказать, что из двух вполне упорядоченных множеств М и М', не являющихся подобными, одно и только одно подобно нек-рому отрезку другого. Так, напр., множества М: 1, 2, 3, 4, и Мо: у,. -., (оба расположены в порядке возрастающей величины чисел) подобны между собой; множество М не является подобным множеству Afx: у, — у, ..., 1, но оно подобно отрезку множества М1} образованному числами, предшествующими 1 (этот отрезок в нашем примере есть Мо) Всем вполне упорядоченным множествам, подобным между собой, относится одно и то же Т. ч. Это предложение не даёт прямого определения Т. ч., но оно устанавливает условия, при к-рых вообще можно говорить о Т. ч., и указывает, когда речь идёт об одном и том же Т. ч. Таким образом, Т. ч. вводятся здесь посредством так называемого «определения через абстракцию», часто встречающегося в математике.
Если М подобно нек-рому отрезку М', то Т. ч., соответствующее М, называется меньшим, а Т. ч., соответствующее М', — ббльшим первого. В приведённых выше примерах множествам М и MQ относится одно и то же число, обозначаемое через со; множеству относится большее Т. ч., обозначаемое через со +1.
Легко образовать последовательность множеств: Мо, М19 М2, ..., к-рым будут отвечать возрастающие трансфинитные числа. Таковы множества:
Мо:
А,
М2: у — 720
4-, ..., 1, 1 + 4,
М3: 4, |, А ..., 1, 1+411 + 4,
Их Т. ч. обозначаются соответственно через со, со 4—1, со 4—2, со 4—3. Множеству М': относится Т. ч., обозначаемое через со • 2; множеству М": 44 1, 1+4, 1+4,.... 2, 2+1. 2+4,... относится трансфинитное число, обозначаемое через со — 3.
Подобным же образом можно получить множества, к-рым отвечают Т. ч.: со-n, со«п44—1»..., со(%4—1)» •••» со2, ..., со2 4~со, ..., со3, ..., соф, ..., cowC°, ...
К Т. ч., именно к Т. ч. первого класса, причисляют и обыкновенные порядковые числа.
Для Т. ч. можно определить действия сложения, умножения, возвышения в степень (обозначения, приведённые выше для Т. ч., основаны на этих действиях). Законы этой арифметики для бесконечных Т. ч. (т. е. не принадлежащих к первому классу) своеобраз-, ны: так, 1 4 — со = со, a co-f-l =£со, точно так же 2со =со, тогда как со 2фсо и т. д.
В применении Т. ч. к различным вопросам математики (теория множеств и теория функций действительного переменного) важную роль играет принцип трансфинитной индукции, обобщающий на Т. ч. обычный принцип математич. индукции: если нек-рое утверждение верно для числа 0 и если из его справедливости для Т. ч., меньших любого а, следует справедливость его и для а, то это утверждение справедливо для всех без исключений Т. ч.
Лит.: Греллинг К., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1935 (популярная брошюра): Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937 (Серьёзный, научный курс).
ТРАНСФОРМАТОР ЧАСТОТЫ устройство, позволяющее изменять частоту переменного тока путём преобразования (трансформации) заданной частоты f в значении п/, где п — коэффициент трансформации. Если п<1, то результатом преобразования получается частота, меньшая по сравнению с исходной, и процесс преобразования называется делением частоты, асамТ. ч. — делителем частоты. Если п= 1, то получается частота, бблыпая по сравнению е исходной, и процесс трансформации называется умножением частот ы, а сам Т. ч. — у множителем частоты; в частности, когда п=2; Зит. д., трансформатор носит название соответственно — удвоитель, утроитель частоты и т. д. — Т. ч. применяются в современной радиотехнике: передающих и приёмочных устройствах, при изменениях радиочастот и др. Для преобразования частоты в силовых устройствах пользуются преобразователями (см.), а также ртутными выпрямителями (см.).
ТРАНСФОРМАТОРЫ, электромагнитные аппараты для преобразования переменного тока одного напряжения в переменный ток той же частоты, но другого напряжения. Изобретателем Т. считают Клерка (Clerc) (1882), но до него в 1881 препаратор по кафедре физики
