какъ было указано выше, что это значеніе, именуемое приложеніемъ, берется извнѣ, эмпирически, то о сказанныхъ выведенныхъ путемъ дифференцированія уравненіяхъ должно быть также извѣстно извнѣ, имѣютъ ли они равные корни для того, чтобы знать, правильно ли полученное уравненіе. Но на это обстоятельство въ учебникахъ опредѣлительно не указываютъ; оно устраняется тѣмъ, что, приравнивая нулю уравненіе первой степени, сейчасъ же получаютъ = уу откуда затѣмъ при дифференцированіи все же получается т.-е. лишь отношеніе. Исчисленіе функцій, конечно, должно во всякомъ случаѣ имѣть дѣло съ функціями возвышенія въ степень, а дифференціальное исчисленіе — съ дифференціалами, но отсюда еще не слѣдуетъ для себя, что если берутся дифференціалы или функціи возвышенія въ степень какихъ-либо величинъ, то эти величины должны быть только функціями другихъ величинъ. И кромѣ того, въ теоретической части при выводѣ дифференціаловъ, т.-е. функцій возвышенія въ степень, еще вовсе не думаютъ о томъ, что величины, съ которыми приходится имѣть дѣло послѣ такого вывода, сами должны быть функціями другихъ величинъ.
Еще можно замѣтить относительно опущенія постоянныхъ величинъ при дифференцированіи, что оно имѣетъ здѣсь тотъ смыслъ, что постоянная величина при равенствѣ корней безразлична для ихъ опредѣленія, такъ какъ это опредѣленіе исчерпывается коефиціентами второго члена уравненія. Такъ въ приведенномъ примѣрѣ Декарта постоянная величина есть квадратъ самого корня, слѣдовательно, то послѣдній можетъ быть опредѣленъ какъ изъ нея, такъ и изъ коефиціентовъ, поскольку она, какъ и коефиціенты, есть функція корней уравненія. Въ обычномъ изложеніи устраненіе связанной съ прочими членами посредствомъ знаковъ -|- и постоянной величины достигается простымъ механизмомъ пріема, состоящаго въ томъ, что для нахожденія дифференціала сложнаго выраженія дается приращеніе лишь перемѣннымъ величинамъ, и полученное такимъ образомъ выраженіе вычитается изъ первоначальнаго. О значеніи постоянныхъ величинъ и ихъ опущенія, поскольку они сами суть функціи и являются нужными или ненужными по этому опредѣленію, не поднимается и рѣчи.
Съ опущеніемъ постоянныхъ величинъ связано такое же замѣчаніе по поводу названій дифференцированія и интегрированія, какое ранѣе было сдѣлано по поводу выраженій конечнаго и безконечнаго, а именно что въ ихъ опредѣленіи заключается скорѣе противоположность того, что выражается этими словами. Дифференцированіе означаетъ положеніе разностей; но черезъ дифференцированіе, напротивъ, уравненіе приводится къ меньшему объему, опущеніемъ постоянно величины устраняется одинъ изъ моментовъ опредѣленности; какъ было указано, корни перемѣнныхъ величинъ приравниваются, слѣдовательно разность ихъ снимается. При интегрированіи же постоянная величина снова должна быть прибавлена; уравненіе тѣмъ самымъ интегрируется, но въ томъ смыслѣ, что ранѣе снятая разность корней снова возстано-вляется, т.-е. что положенное равнымъ дифференцируется. Обычный способъ
как было указано выше, что это значение, именуемое приложением, берется извне, эмпирически, то о сказанных выведенных путем дифференцирования уравнениях должно быть также известно извне, имеют ли они равные корни для того, чтобы знать, правильно ли полученное уравнение. Но на это обстоятельство в учебниках определительно не указывают; оно устраняется тем, что, приравнивая нулю уравнение первой степени, сейчас же получают = уу откуда затем при дифференцировании всё же получается т. е. лишь отношение. Исчисление функций, конечно, должно во всяком случае иметь дело с функциями возвышения в степень, а дифференциальное исчисление — с дифференциалами, но отсюда еще не следует для себя, что если берутся дифференциалы или функции возвышения в степень каких-либо величин, то эти величины должны быть только функциями других величин. И кроме того, в теоретической части при выводе дифференциалов, т. е. функций возвышения в степень, еще вовсе не думают о том, что величины, с которыми приходится иметь дело после такого вывода, сами должны быть функциями других величин.
Еще можно заметить относительно опущения постоянных величин при дифференцировании, что оно имеет здесь тот смысл, что постоянная величина при равенстве корней безразлична для их определения, так как это определение исчерпывается коефициентами второго члена уравнения. Так в приведенном примере Декарта постоянная величина есть квадрат самого корня, следовательно, то последний может быть определен как из неё, так и из коефициентов, поскольку она, как и коефициенты, есть функция корней уравнения. В обычном изложении устранение связанной с прочими членами посредством знаков -|- и постоянной величины достигается простым механизмом приема, состоящего в том, что для нахождения дифференциала сложного выражения дается приращение лишь переменным величинам, и полученное таким образом выражение вычитается из первоначального. О значении постоянных величин и их опущения, поскольку они сами суть функции и являются нужными или ненужными по этому определению, не поднимается и речи.
С опущением постоянных величин связано такое же замечание по поводу названий дифференцирования и интегрирования, какое ранее было сделано по поводу выражений конечного и бесконечного, а именно что в их определении заключается скорее противоположность того, что выражается этими словами. Дифференцирование означает положение разностей; но через дифференцирование, напротив, уравнение приводится к меньшему объему, опущением постоянно величины устраняется один из моментов определенности; как было указано, корни переменных величин приравниваются, следовательно разность их снимается. При интегрировании же постоянная величина снова должна быть прибавлена; уравнение тем самым интегрируется, но в том смысле, что ранее снятая разность корней снова восстано-вляется, т. е. что положенное равным дифференцируется. Обычный способ
