недѣлимымъ, но искажаетъ его и нарушаетъ его чистоту черезъ переданное имъ его ученику Ньютону и прочимъ современнымъ ему математикамъ, въ томъ числѣ Лейбницу, признаніе равномѣрности криволинейнаго треугольника, напр, т. наз. характеристическаго, съ прямолинейнымъ, поскольку оба они безконечно-т. е. очень малы, — приводитъ направленное противъ того возраженіе Таке, также прибѣгавшаго къ новымъ методамъ остроумнаго геометра. Указываемое послѣднимъ затрудненіе касается также вопроса о томъ, какая линія, и именно при вычисленіи коническихъ и сферическихъ поверхностей, должна быть принимаема для примѣненія основанныхъ на дискретномъ соображеній. Таке возражаетъ противъ, метода недѣлимыхъ, что при вычисленіи поверхности прямого конуса по этому атомистическому методу треугольныя сѣченія конуса представляются образованными прямыми линіями, параллельными основанію и перпендикулярными къ оси, которыя суть вмѣстѣ радіусы круговъ, изъ коихъ (круговъ) состоитъ поверхность конуса. Но если эта поверхность опредѣляется, какъ сумма окружностей, а эта сумма зависитъ отъ числа ихъ радіусовъ, т. е. длины оси конуса, его высоты, то получаемый результатъ противорѣчить найденной и доказанной Архимедомъ истинѣ. Барроу возражаетъ на это, что при опредѣленіи поверхности не ось конуса, но его образующая должна быть принимаема за ту линію, вращеніе которой производитъ эту поверхность, и которая поэтому — а не ось — должна считаться опредѣленностью величины для множества окружностей.
Такія возраженія и неточности имѣютъ свой источникъ исключительно въ употребляемомъ тутъ неопредѣленномъ представленіи безконечнаго множества точекъ, изъ которыхъ считается состоящею линія, или линій, изъ которыхъ считается состоящею площадь; этимъ представленіемъ затемняется существенная опредѣленность величины линіи или площадей. Цѣлью настоящихъ примѣчаній было указать на тѣ утвердительныя опредѣленія, которыя при различномъ употребленіи безконечно-малыхъ въ математикѣ остаются, такъ сказать, на заднемъ планѣ, и вывести ихъ изъ той туманности, къ которой приводитъ исключительно отрицательное пониманіе этой категоріи. Въ безконечномъ ряду, напр, въ архимедовомъ измѣреніи круга, смыслъ безконечности состоитъ лишь въ томъ, что извѣстенъ законъ развитія опредѣленія, хотя такъ называемое конечное, т.-е. ариѳметическое выраженіе, не дано, и отожествленіе дуги съ прямою линіею не можетъ быть осуществлено; эта ихъ несоизмѣримость есть ихъ качественное различіе. Качественное различіе дискретнаго и непрерывнаго вообще также содержитъ въ себѣ отрицательное опредѣленіе, вслѣдствіе котораго они являются несоизмѣримыми, и приводитъ къ безконечному въ томъ смыслѣ, что непрерывное, принимаемое за дискретное, не должно болѣе быть опредѣленнымъ количествомъ по своей опредѣленности, какъ непрерывнаго. Непрерывное, которое ариѳметически должно быть принимаемо за произведеніе, тѣмъ самымъ полагается, какъ дискретное, въ немъ самомъ, и разлагается, какъ на элементы, на свои множители; въ нихъ заключается онредѣленнесть его величины; но именно потому что они суть эти множители или элементы, они принадлежатъ къ низшему измѣренію, и, поскольку тутъ
неделимым, но искажает его и нарушает его чистоту через переданное им его ученику Ньютону и прочим современным ему математикам, в том числе Лейбницу, признание равномерности криволинейного треугольника, напр, т. наз. характеристического, с прямолинейным, поскольку оба они бесконечно-т. е. очень малы, — приводит направленное против того возражение Таке, также прибегавшего к новым методам остроумного геометра. Указываемое последним затруднение касается также вопроса о том, какая линия, и именно при вычислении конических и сферических поверхностей, должна быть принимаема для применения основанных на дискретном соображений. Таке возражает против, метода неделимых, что при вычислении поверхности прямого конуса по этому атомистическому методу треугольные сечения конуса представляются образованными прямыми линиями, параллельными основанию и перпендикулярными к оси, которые суть вместе радиусы кругов, из коих (кругов) состоит поверхность конуса. Но если эта поверхность определяется, как сумма окружностей, а эта сумма зависит от числа их радиусов, т. е. длины оси конуса, его высоты, то получаемый результат противоречить найденной и доказанной Архимедом истине. Барроу возражает на это, что при определении поверхности не ось конуса, но его образующая должна быть принимаема за ту линию, вращение которой производит эту поверхность, и которая поэтому — а не ось — должна считаться определенностью величины для множества окружностей.
Такие возражения и неточности имеют свой источник исключительно в употребляемом тут неопределенном представлении бесконечного множества точек, из которых считается состоящею линия, или линий, из которых считается состоящею площадь; этим представлением затемняется существенная определенность величины линии или площадей. Целью настоящих примечаний было указать на те утвердительные определения, которые при различном употреблении бесконечно-малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и вывести их из той туманности, к которой приводит исключительно отрицательное понимание этой категории. В бесконечном ряду, напр, в архимедовом измерении круга, смысл бесконечности состоит лишь в том, что известен закон развития определения, хотя так называемое конечное, т. е. арифметическое выражение, не дано, и отожествление дуги с прямою линиею не может быть осуществлено; эта их несоизмеримость есть их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного вообще также содержит в себе отрицательное определение, вследствие которого они являются несоизмеримыми, и приводит к бесконечному в том смысле, что непрерывное, принимаемое за дискретное, не должно более быть определенным количеством по своей определенности, как непрерывного. Непрерывное, которое арифметически должно быть принимаемо за произведение, тем самым полагается, как дискретное, в нём самом, и разлагается, как на элементы, на свои множители; в них заключается онределеннесть его величины; но именно потому что они суть эти множители или элементы, они принадлежат к низшему измерению, и, поскольку тут
