ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
595 С
О — 1
о
значит = -Qjj — и S = - ДАБЕ = - ЛАВС. — Наряду с методом неделимых, к-рый Архимед считал эвристически ценным, но не строгим, он употреблял и метод исчерпывания. Архимед первый вычислил поверхность шара, а также дал кубатуру эллипсоида с помощью вписанных и описанных цилиндров и суммирования ряда 1а +22 +... +п2. Говоря языком современной математики, а x2dx = — . После Архимеда вплоть о до конца античной культуры существенно новых результатов получено не было. Застой явился результатом иссякания живых родников научного творчества. Дело было не в трудностях метода исчерпывания, оказавшихся, как иногда думают, не по плечу преемникам Архимеда, а в том, что ни техника ни наука не ставили перед математикой в этой области новых проблем. Интерес к ней поэтому ослабевал, оригинальные идеи не возникали, и деятельность ученых все более вырождалась в комментаторство.
Арабы. Арабская наука сохранила в переводах многие работы Архимеда, но почти не дополнила их чем-либо новым. Единственным шагом вперед явилось вычисление Ибн-Альхайтамом (965? — 1039) сумм членов ряда ls+23+ ... + п и ряда 1Ч — 24+ ...
(необходимых для •нахождения квадратур, аналогичных современным интеаа тралам J* xzdx и J* x*dx) и объемов тел вращения парао о <болы вокруг какого-нибудь диаметра или ординаты (по методу исчерпывания).
Средневековье. Средние века еще менее обогатили математику в этом отношении. Ремесленная техника и землемерие долгие столетия удовлетворялись грубо приближенными правилами; проблема точных квадратур и кубатур не выставлялась. Только философские размышления схоластиков о бесконечном сыграли позднее известную роль. Фома Брадвардин (приблизительно 1290—1349), например, считал, что хотя непрерывное содержит бесконечно много неделимых низшего измерения, но из них не составляется.
Новое время. Современное естествознание, как указывал Энгельс, «начинается с той грандиозной эпохи, когда буржуазия сломила мощь феодализма» (Энгельс, Диалектика природы, в кн.: Маркс и Энгельс, Соч., т. XIV, стр. 415). Это относится и к математике, коренное преобразование к-рой выпало на 17 в., когда возникла безусловная необходимость в широком использовании бесконечно-малых. Расцвет архитектуры, строительство каналов, судоходство ставили проблемы статического и гидростатич. характера, требовавшие вычисления объемов, площадей, центров тяжести. Подталкиваемая нуждами навигации, новая астрономия, выдвинувшая теорию эллиптических орбит планет, требовала вычисления сложных квадратур. Запросы баллистики породили динамику, поставившую перед математикой новые задачи вычисления скорости по данному закону пути и пути по данному закону скорости. «При таком положении вещей естественно, что первое место заняла элементарнейшая отрасль естествознания — механика земных и небесных тел, а наряду с ней, на службе у нее, открытие и усовершенствование математических методов» (там же, стр. 477).
Динамика оказала при этом решающее влияние. Если первоначально ученые, отправлявшиеся от Архимеда, использовали только идеи античной математики, то новое учение о движении ввело в математику ранее отсутствовавшие в ней идеи переменной величины и функциональной зависимости. «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, зачатки которого вскоре были заложены и которое было в целом завершено, а не открыто, Ньютоном и Лейбницем» (там же, стр. 426—427). Математика теперь надолго соединяет свои судьбы с судьбами механики и физики. Первыми работниками в этой области были астроном Кеплер, механик Галилей и его ученики Кавальери и физик Торричелли, физик Паскаль, механики и физики: Роберваль, Гюйгенс и Ньютон. Относительно «чистые» математики, как Ферма, встречаются реже.
Кеплер, Кавальери. Метод неделимых. Первым выдающимся предшественником творцов И. и. явился И. Кеплер (см.) (1571—1630). Не будучи даже знаком с «механическим методом» Архимеда (сочинение которого открыто было в 1906), он гениально реконструировал своеобразный вариант идеи неделимых. Теорему о том, что площадь круга равновелика площади треугольника с ©ысотой, равной радиусу, и основанием, равным длине окружности, он «доказывает» в нескольких словах: окружность круга содержит столько же частей, сколько сточек, т. е. бесконечно много; каждая точка рассматривается как основание равнобедренного треугольника с вер 3шиной в центре круга и со стороной, равной радиусу; площадь круга состоит тогда из бесконечно многих треугольников, равновеликих в сумме треугольнику с той же высотой, т. е. радиусом, и с основанием, равным сумме оснований, т. е. длине окружности. Пользуясь таким приемом, Кеплер нашел в сочинении «Новое измерение винных бочек» (1615) целый ряд объемов тел вращений, гл. обр. конических сечений. Знаменитый астрономический закон площадей также был получен инфинитезимальным путем. Вычисления Кеплера «сумм всех неделимых» соответствовали, конечно, вычислению интегралов. Но не было при этом сколько-нибудь строгих предельных переходов, и самые неделимые представляли собой весьма смутные понятия. Выдвинув на первый план идею дробления целого на удобовычислимые элементы, Кеплер сделал плодотворное дело. Но то, что он при этом откинул имевшуюся налицо форму доказательства методом исчерпывания, привело его к нек-рым ошибкам и могло породить ряд неверных результатов в методах вычисления и исследования.
Старые формы вычисления были отброшены, но нельзя было отбросить, откинуть форму вычисления, форму доказательства вообще. Надо было в дальнейшем выработать и новые строгие формы математических доказательств. — Крупной работой в этом отношении явилась «Геометрия, изложенная по новому способу с помощью неделимых частей непрерывных величин» (1635), которую впоследствии дополнили и уточнили «Шесть геометрических упражнений» (16 47).
Автором обеих работ являлся Б. Кавальери (см.) (1591—1647), ученик Галилея (1564—1642).
Неделимые Кавальери(это понятие точно не определяется) суть актуально бесконечно-малые образы более низкого измерения, рис. 5. чем обладающее ими в бесконечном числе непрерывное целое; последнее на них не распадается. Но если из неделимых элементов нельзя составить непрерывность высшего измерения (здесь Кавальери противопоставляет свое учение взглядам Кеплера), то они порождают эту непрерывность при продвижении, при течении. Рабочим орудием неделимые становятся следующим образом. Если провести касательную к ограничивающей площадь кривой («направляющую ось»), то при движении ее параллельно самой себе она займет положение всех пересекающих в этом направлении фигуру хорд. Совокупность всех неделимых той или иной фигуры служит у Кавальери понятием, отвечающим понятию интеграла. Эти совокупности, правда, всегда бесконечно велики, но зато во многих случаях отношение их имеет определенную величину. Основные принципы пользования ими таковы: 1) совокупность неделимых фигуры не зависит от выбора направляющей оси; 2) площади двух фигур находятся в отношении совокупностей их неделимых. Все это легко переносится на трехмерное тело. Для сравнения площадей фигур проводятся параллельно направляющие оси и берутся, на одинаковых расстояниях, параллельные им секущие. Если последние находятся в постоянном отношении, то такое же отношение имеется и между площадями. Так (рис. 5) АВ и АС — ординаты эйлипса с осями а, b и круга радиуса а находятся всегда в отношении b : а; то же можно сказать о хордах (удвоенных ординатах); следовательно, площадь эллипса относится к площади круга, как b : а. Следующим шагом Кавальери было введение совокупностей квадратов неделимых, т. е. квадратов, построенных на неделимых прямых фигуры.
Рис. 6.
Он доказал теорему: совокупность квадратов параллелограма относится к совокупности квадратов любого из образуемых в нем диагональю треугольников, как 3:1. Если положить (рис. 6) АС=а (высоту параллелограма для удобства взять равной а) и АВ=х, то совокупность квадратов в треугольнике дает а (в современных обозначениях) J х2 dx (объем пирамиды), о а а в параллелограме £ a2dx=a3 (объем параллелепипеда), о В наших терминах теорема Кавальери утверждает, что а р а3 J x2dx = у . Пользуясь этим, Кавальери удалось поо новому определить площадь параболы и спирали Архимеда (для этого он ввел криволинейные неделимые). Позднее им были даны аналогичные теоремы для степенных функций до 9-й степени включительно.
Ферма и Паскаль, Более сходными с современными приемами являются приемы П. Ферма (см.) (1601—65).
Рассматривая кривые у=хп в прямоугольной системе
