координат, Ферма разбивал ось абсцисс точками, абсциссы к-рых образуют геометрическую прогрессию (убывающую при п>0 и возрастающую прип<0). Затем он в площадь кривой вписывал или описывал около нее прямоугольники вида ydx. Площади этих прямоугольников образуют легко суммируемую геометрическую прогрессию. В результате Ферма нашел, что (в современных обоза р ап+1 начениях) всегда J xndx= (кроме случая n = — 1).
О Он явно пренебрегал в этих вычислениях (ссылаясь на возможность точного косвенного доказательства) различием между площадью бесконечно-малой части фигуры и площадью вписанного в нее или описанного около нее прямоугольника, т. е. пренебрегал величинами высшего порядка малости. — Блэз Паскаль (см.) (1623—62) попрежнему пользовался термином «сумма линий». Он говорил, что хотя многие считают неточным выражать плоскость через посредство неопределенно-бесконечного числа линий, но на самом деле «под этими словами разумеется не что иное, как сумма неопределенно-бесконечного числа прямоугольников, образованных каждой ординатой с каждой из равных малых частей диаметра, сумма которых, конечно, есть плоскость». Но, преобразовав совокупность неделимых Кавальери в сумму бесконечномалых и установив в общем виде (1654) связь между арифметической задачей суммирования рядов 1т +2т + ...
+/гш и квадратурами, он значительно ближе своих предшественников подошел к современным идеям И. и. Паскаль выполнил ряд вычислений, соответствующих вычислению интегралов: J*sinx dx, J\in2x dx, J*(aa — x2) 3/2dx,
связанных с различными геометрическими и статистическими задачами, У него же в геометрической форме можно найти способ интегрирования по частям.
Спрямление кривых. Проблема спрямления кривых (вычисления длины кривых линий) долгое время не ставилась вообще, ибо господствовало убеждение, что кривые несравнимы с прямыми. Первым спрямил логарифмическую спираль Торричелли (1640), но решение его с точки зрения И. и. не интересно. Из алгебраических кривых впервые была спрямлена в 1657 полукубическая парабола уъ=х3 В. Нейлем (1637—70). В следующем году Хр. Рен (1632—1723) спрямил циклоиду. Вообще задача спрямления была сведена к квадратурам. Было установлено, что элемент дуги ds=/dx2 + dy* и что для кривой у=/(х) длина ее s выражается площадью кривой y = Vi +у'2. Хр. Гюйгенсу (1629—75) удалось получить с помощью эволют кривых ряд спрямлений; им же был проведен ряд вычислений площадей поверхностей тел вращения.
Открытие И. и.: Ньютон» Лейбниц. В результате всех этих работ стала ясной общность тех операций, которыми пользовались при решении внешне несходных задач геометрии и механики. Все они приводились в своем математическом существе к вычислению определенных интегралов. Нашей идее определенного интеграла вполне отвечало в геометрическом отношении понятие квадратуры. Заключительным звеном в цепи открытий предшественников Ньютона и Лейбница было установление взаимной связи между интегрированием и дифференцированием. Это открытие, перекинувшее мост между двумя до тех пор раздельными отделами исчисления бесконечномалых и имевшее огромные последствия, было опубликовано И. Барроу (1630—77) в «Геометрических чтениях» (1670). Обратный характер обеих операций был им сформулирован еще в геометрической форме.
Математике 17 в. во всех областях присуще было стремление к максимальному возможному обобщению ее приемов. Перечисленные открытия к 70-м гг. этого века подготовили все необходимые условия для создания общих математических понятий и приведения различных методов квадратур и дифференцирования в систематическое исчисление, совершающееся по нек-рым установленным единым правилам. Вместе с тем ощущалась потребность в изобретении специальной символики, нужной для операций нового алгорифма. Создание И. и. как алгорифма пришлось на долю И. Ньютона (1642—1727) и Г. В. Лейбница (1646—1716). — Метод Ньютона, разработанный им около 1671, по происхождению и содержанию тесно связан был с его механическими работами.
В основу были положены два понятия: флюксии, означающей скорость изменения зависимой переменной относительно независимой, и флюенты — величины, для к-рой заданная величина служит флюксией, т. е. величины, изменяющейся с заданной скоростью. Флюксия соответствовала полностью нашей производной; флюента представляла собой неопределенный интеграл или же (термин Лагранжа) первообразную. В «Методе флюксий и бесконечных рядов» (1671, опубликован в 1737) Ньютон ясно установил основные две взаимообратные задачи исчисления бесконечно-малых. Все задачи, связанные с изучением кривых линий, он свел к двум общим проблемам, которые выразил в механических терминах: 1) длина проходимого точкой отрезка дана во всякий моментвремени; требуется определить скорость движения в любое время; 2) скорость движения дана во всякий момент времени; требуется определить длину пройденного за любое время отрезка. Хотя аргументом здесь бралось время, но, как указывал сам Ньютон, это ограничение можно было сразу отбросить. Основь|ваясь на такой концепции, Ньютон построил свое И. и*; на понятии первообразной функции. Для применения його к квадратурам он доказывает, что флюксия площади s равна ординате, ds _
т. е. что = у. Тогда задача квадратуры сводится, как и другие, к отысканию первообразных. Первообразная функция определяется вообще по данной ее производной с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Это знал и Ньютон, умевший, конечно, определять произвольное постоянное при условии, если известно значение первообразной при каком-либо значении х. В печати «произвольно выбранная постоянная интегрирования» появилась впервые в одной статье Лейбница в 1694. — Для своих флюксий и флюент Ньютон ввел специальную символику: он обозначил первую, вторую и т. д. флюксии (первую, вторую и т. д. производные) через х, х и т. д., а флюенту — через х. Обозначение это долго не удержалось. — Еще до Ньютона Н. Меркатор (1620—87) впервые (1668) применил к вычислению 1п(1+х) бесконечный степенной ряд. Зная, что In (1 +х) представляет собой нек-рую площадь гиперболы у= — ! — Гт. е., что In (1 +х) = 1 + xL х
- dx, и найдя делением, что^-^=1 — х+х2 — х2 +..., 1+х 0
он интегрирует почленно этот ряд и получает ряд для логарифма /v. 2 дсЗ 1п(1+х) = х-|- + ^-...
Способ разложения интегрируемой функции в бесконечный ряд по степеням х и его почленного интегрирования играет у Ньютона (и в дальнейшем развитии И. и.) большую роль. Умея интегрировать хт и пользуясь открытой им теоремой о биноме, Ньютон выразил целый ряд интегралов через бесконечные ряды, значительно расширив область изучаемых функций и способствуя кристаллизации самого понятия функций.
Исчисление флюксий и флюент было готово во многом уже в 1671, но об этом знал узкий крут лиц, а широкую гласность оно получило значительно позднее. Поэтому влияние их оказалось меньшим, чем влияние работ Лейбница, опубликованных ок. 1690. К открытию И. и., сделанному независимо от Ньютона, Лейбниц пришел от так наз. обратной задачи о касательных. Последняя (поставленная еще в 1637 Ф. Дебоном) требовала найти кривую по тем или иным свойствам наклона касательной, т. е. найти у из условия /(х, у, у') = 0 (это, вообще говоря, задача теории дифференциальных уравнений, см.). Установив, что решение этой задачи часто приводит к квадратурам, Лейбниц занялся поисками общего алгорифма для решения проблемы квадратур и касательных, взаимно обратный характер которых был ему понятен. Он отправлялся при этом от идей Кавальери — Паскаля. Два фундаментальных понятия его исчисления были дифференциал (см.), бесконечно-малая разность непосредственно следующих друг за другом значений переменной и сумма бесконечного множества дифференциалов, впоследствии названная, по совету Иоганна Бернулли, интегралом (integer значит целый). Величина, разлагавшаяся Лейбницем на дифференциалы, естественно получалась обратно как целое при их сложении. Определив интеграл как сумму, Лейбниц тотчас же свел, однако, его вычисление к нахождению первообразной. Составив таблицу ряда дифференциалов, он тем самым получил таблицу соответствующих интегралов. Всем этим Лейбниц обладал уже в 1675. Введение символики относится к этому же году. Сперва он вслед за Кавальери употребил для интеграла знак omn. (omnia значит все), но потом стал писать J* у, где знак J* есть удлиненное S, первая буква слова summa. Так, J*x =
, J*(u + v) = Ju + J* v.
Вслед за тем он окончательно остановился на знаке J*ydx, ибо суммировались не линии у, а дифференциалы площади ydx. В этой замечательной форме характеристики интеграла и дифференциала употребляются доныне. Символика Лейбница не только проще Ньютоновой (для высших производных) и не только явно указывает аргумент дифференцирования или интегрирования, благодаря чему его характеристики оказывались прекрасными операторами, но и отображает тот математический процесс, который приводит к обозначаемым понятиям. Впервые знак интеграла был опубликован в статье Лейбница (1686), а слово интеграл — в 1690 в статье Я. Бернулли (Лейбницсперва говорило «суммирующемисчислении»). — Основные свойства неопределенного интегрирования Лейбницу были, конечно, хорошо известны. Среди употреблявшихся им специальных способов были: замена
