Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/156

плоскости на плоскости основанія конуса и другую прямую, параллельную этому слѣду и получаемую отъ пересѣченія плоскости основанія съ плоскостію, проходящею черезъ вершину конуса и параллельною плоскости сѣченія. Эти двѣ прямыя и вершина конуса вполнѣ опредѣляютъ положеніе плоскости сѣченія и потому онѣ должны быть тремя данными, достаточными также и для построенія кривой пересѣченія конуса съ плоскостью, если только такая кривая дѣйствительно существуетъ.

Но легко видѣть, что это построеніе будетъ выполнено слѣдующимъ образомъ: черезъ точку $M$ круга основанія, называемаго образующимъ кругомъ (cercle générateur), проведемъ какую-нибудь сѣкущую, которая встрѣтится со слѣдомъ плоскости сѣченія и съ линіею ему параллельной въ двухъ точкахъ; соединимъ вторую точку съ вершиною $S$ конуса прямою линіею и къ этой прямой проведемъ параллельную черезъ первую точку. Эта параллельная очевидно будетъ лежать въ плоскости сѣченія и встрѣтится съ образующей $SM$ конуса въ точкѣ $M'$, принадлежащей искомой кривой. Для всякой другой точки образующаго круга получимъ другую точку кривой сѣченія.

Это построеніе совершенно общее; оно существуетъ, каково бы ни было положеніе точки $S$ въ пространствѣ; оно примѣнимо и къ тому случаю, когда эта точка находится въ плоскости круга, когда слѣдовательно нѣтъ болѣе конуса. Кривая; образуемая точкой, и въ этомъ случаѣ будетъ коническое сѣченіе^[1].

1. Чтобы убѣдиться въ этомъ, проложимъ кривую, которую мы построили въ пространствѣ, на плоскость круга со всѣми линіями, служившими для построенія. Въ проложеніи получимъ кривую и прямыя, служащія именно для ея построенія, точно также какъ прямыя въ пространствѣ служили для построенія сѣченія конуса; другими словами, построеніе кривой въ проложеніи будетъ совершенно сходно съ построеніемъ кривой въ пространствѣ; если при этомъ возьмемъ проэктирующія линіи перпендикулярныя, къ слѣду плоскости сѣченія на плоскости основанія и одинаково наклоненныя къ этимъ двумъ плоскостямъ, то въ проложеніи получится кривая совершенно одинаковая съ кривой сѣченія; слѣдовательно это будетъ коническое сѣченіе.
   Отсюда же видно, что при распространеніи на коническія сѣченія свойствъ круга нужны одни и тѣ же доказательства, будемъ ли мы разсматривать коническое сѣченіе въ плоскости круга, или въ пространствѣ.

Тот же текст в современной орфографии

плоскости на плоскости основания конуса и другую прямую, параллельную этому следу и получаемую от пересечения плоскости основания с плоскостью, проходящею через вершину конуса и параллельною плоскости сечения. Эти две прямые и вершина конуса вполне определяют положение плоскости сечения и потому они должны быть тремя данными, достаточными также и для построения кривой пересечения конуса с плоскостью, если только такая кривая действительно существует.

Но легко видеть, что это построение будет выполнено следующим образом: через точку $M$ круга основания, называемого образующим кругом (cercle générateur), проведем какую-нибудь секущую, которая встретится со следом плоскости сечения и с линиею ему параллельной в двух точках; соединим вторую точку с вершиною $S$ конуса прямою линиею и к этой прямой проведем параллельную через первую точку. Эта параллельная очевидно будет лежать в плоскости сечения и встретится с образующей $SM$ конуса в точке $M'$, принадлежащей искомой кривой. Для всякой другой точки образующего круга получим другую точку кривой сечения.

Это построение совершенно общее; оно существует, каково бы ни было положение точки $S$ в пространстве; оно применимо и к тому случаю, когда эта точка находится в плоскости круга, когда следовательно нет более конуса. Кривая; образуемая точкой, и в этом случае будет коническое сечение^[1].

1. Чтобы убедиться в этом, проложим кривую, которую мы построили в пространстве, на плоскость круга со всеми линиями, служившими для построения. В проложении получим кривую и прямые, служащие именно для её построения, точно также как прямые в пространстве служили для построения сечения конуса; другими словами, построение кривой в проложении будет совершенно сходно с построением кривой в пространстве; если при этом возьмем проектирующие линии перпендикулярные, к следу плоскости сечения на плоскости основания и одинаково наклоненные к этим двум плоскостям, то в проложении получится кривая совершенно одинаковая с кривой сечения; следовательно это будет коническое сечение.
   Отсюда же видно, что при распространении на конические сечения свойств круга нужны одни и те же доказательства, будем ли мы рассматривать коническое сечение в плоскости круга, или в пространстве.