Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/209

$B={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2^{2}.4^{2}}}$

$C={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{2^{3}.4^{2}.6^{2}}}$

и т. д.

Если точка, изъ которой опускаются перпендикуляры, взята на окружности, то формула обращается въ

$m.{\frac {1.3.5.7\dots (2n-1)}{1.2.3.4\dots n}}R^{n}$. (Предл. 39).

Въ этой общей теоремѣ заключаются предложенія 3, 5, 22, 23, 28, 29 и 45.
[Начало цитаты]
2. Положимъ, что въ кругѣ радіуса $R$ вписанъ правильный многоугольникъ, имѣющій $m$ сторонъ, и пусть $n$ будетъ число меньшее $n$.

Если возьмемъ произвольно точку на разстояніи $v$ отъ центра круга, то сумма $2n$-ыхъ степеней разстояніа этой точки отъ вершинъ многоугольника будетъ равна

$m(R^{2n}+a^{2}v^{2}R^{2n-2}+b^{2}v^{4}R^{2n-4}+c^{2}v^{6}R^{2n-6}+$ и т. д.),

гдѣ $a$ есть коэффиціентъ втораго члена бинома, возвышеннаго въ степенъ $n$; $b$ — коэффиціентъ третьяго члена; $c$ — четвертаго и т. д. (Предл. 42).
[Конец цитаты]

Если точка взята на окружности, то формула обращается въ

$m.{\frac {1.3.5.7\dots (2n-1)}{1.2.3.4\dots n}}2^{n}R^{2n}$. (Предл. 41).

Въ этой общей теоремѣ заключаются предложенія 4, 36, 27 и 34.
[Начало цитаты]
3. Даны, гдѣ угодно, $m$ точекъ и столько-же количествъ $a,b,c,\dots$; пустъ будетъ $n$ число меньшее $m$; можно найти $n+1$ другихъ точекъ такъ, чтобы сумма помноженныхъ соотвѣтственно на $a,b,c,\dots$ $2n$-ыхъ степеней разстояній какой угодно точки отъ данныхъ точекъ находилась съ суммою $2n$-ыхъ

Тот же текст в современной орфографии

Если точка, из которой опускаются перпендикуляры, взята на окружности, то формула обращается в

$m.{\frac {1.3.5.7\dots (2n-1)}{1.2.3.4\dots n}}R^{n}$. (Предл. 39).

В этой общей теореме заключаются предложения 3, 5, 22, 23, 28, 29 и 45.
[Начало цитаты]
2. Положим, что в круге радиуса $R$ вписан правильный многоугольник, имеющий $m$ сторон, и пусть $n$ будет число меньшее $n$.

Если возьмем произвольно точку на расстоянии $v$ от центра круга, то сумма $2n$-ых степеней расстояниа этой точки от вершин многоугольника будет равна

$m(R^{2n}+a^{2}v^{2}R^{2n-2}+b^{2}v^{4}R^{2n-4}+c^{2}v^{6}R^{2n-6}+$ и т. д.),

где $a$ есть коэффициент второго члена бинома, возвышенного в степен $n$; $b$ — коэффициент третьего члена; $c$ — четвертого и т. д. (Предл. 42).
[Конец цитаты]
Если точка взята на окружности, то формула обращается в

$m.{\frac {1.3.5.7\dots (2n-1)}{1.2.3.4\dots n}}2^{n}R^{2n}$. (Предл. 41).

В этой общей теореме заключаются предложения 4, 36, 27 и 34.

[Начало цитаты]
3. Даны, где угодно, $m$ точек и столько-же количеств $a,b,c,\dots$; пуст будет $n$ число меньшее $m$; можно найти $n+1$ других точек так, чтобы сумма помноженных соответственно на $a,b,c,\dots$ $2n$-ых степеней расстояний какой угодно точки от данных точек находилась с суммою $2n$-ых