БСЭ1/Главные радиусы кривизны

Главные радиусы кривизны
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Гимназия — Горовицы. Источник: т. XVII (1930): Гимназия — Горовицы, стлб. 139 ( РГБ )

ГЛАВНЫЕ РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ, величины, обратные кривизнам главных нормальных сечений (см.) поверхности. Значение их заключается в том, что, зная Г. р. к., легко можно вычислить кривизну всякого нормального сечения. Г. р. к. $\varrho _{1}$ и $\varrho _{2}$ вычисляются по формулам:

${\frac {1}{\varrho _{1}}}+{\frac {1}{\varrho _{2}}}={\frac {(1+q)r-2pqs(1+p^{2}+q^{2})^{2/3}+(1+p^{2})t}{(1+p^{2}+q^{2})^{2/3}}}$,

${\frac {1}{\varrho _{1}\varrho _{2}}}={\frac {rt-s^{2}}{(1+p^{2}+q^{2})^{2}}}$

где

$p={\frac {dz}{dx}}$; $q={\frac {dz}{dy}}$; $r={\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$; $s={\frac {d^{2}z}{dxdy}}$; $t={\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}$

Если ввести обозначения

$L={\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$ , `$M={\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$

то для вычисления Г. р. к. могут служить формулы

$H={\frac {1}{\varrho _{1}}}+{\frac {1}{\varrho _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}+{\frac {\partial M}{\partial y}}$; $K={\frac {1}{\varrho _{1}\varrho _{2}}}={\frac {\partial (LM)}{\partial (x,y)}}$.

Величина $H$ называется средней кривизной поверхности в данной точке, а величина $K$ — мерой кривизны (подробнее см. Поверхность). `