Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/Проективность

Материал из Викитеки — свободной библиотеки

< Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)

Перейти к: навигация, поиск

← Art. 1. Ангармоническое отношение

Проективность пунктуалов и звезд.
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 2
автор Луиджи Кремона

Art. 3. Теория гармонических центров →

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник:

Сканы, размещенные на Викискладе

Проективность пунктуалов и звезд

Cremona, Introd., Art. 2.

7. Назовем пунктуталом (итал. punteggiata) ряд точек, расположенных на одной прямой, и пучком прямых или звездой (итал. stella) ряд прямых, лежащих на плоскости и проходящих через одну и ту же точку (центр пучка) ^[1]. Пункутуалы и звезды следует рассматривать как подпадающие под более общее понятие геометрического образа (итал. forme geometriche). Под элементами геометрического образа понимаются или точки, или прямые, образующие рассматриваемый пунктуал или звезду.^[2]

Два геометрических образа называются проективными, когда между их элементами имеется соотношение, ставящее в соответствие каждому элементу первого образа единственный и вполне определенный элемент второго образа, и наоборот, каждому элементу второго образа — единственный и вполне определенный элемент первого образа. ^[3]^[4]

Например, если пучок прямых пересекает произвольную секущую, то точки пересечений образуют ряд точек, проективный пучку.

Из данного определения со всей очевидностью следует, что два образа, проективные третьему, проективны между собой.

8. Рассмотрим две прямые, на которых лежат точки проективных пункуталов. Если $i$ — фиксированная точка первой прямой, то можно указать произвольную точку $m$ той же прямой, задав отрезок $i m$ ; и аналогично, произвольную точку $m'$ второй прямой можно задать, указав отрезок $j' m'$ , где $j'$ — фиксированная точка второй прямой. Если эти два ряда точек проективны и $m,\, m'$ — соответствующие друг другу точки, то между отрезками $im, \,j'm'$ имеется соотношение, которое, в силу определения проективности, неизбежно имеет следующий вид:

χ. i m . j' m' + λ. i m + μ. j' m' + ν = 0

,

(1.)

где $\chi, \, \lambda, \, \mu, \, \nu$ — постоянные коэффициенты. Это уравнение можно упростить, определив начала $i,\, j'$ подходящим образом. Пусть $i$ такая точка первого пункутала, которой соответствует бесконечно удаленная точка второго, тогда отрезку $i m = 0$ должен отвечать $j'm' = \infty$ , и, следовательно, $μ = 0$ . Аналогично, если предположить, что $j'$ — такая точка второго пункутала, которой отвечает бесконечно удаленная точка первого, то $λ = 0$ . Тогда уравнение (1) принимает вид:

i m . j' m' = k

,

(2.)

где $k$ — некоторая постоянная.

Пусть $a,\, b,\, c,\, d$ — четыре точки первой прямой, а $a', \, b', \, c', \, d'$ — соответствующие им точки на второй прямой. В силу (2) верно:

$j'a'=\frac{k}{ia}, \quad j'c'=\frac{k}{ic}$ ,

следовательно,

$a'c'=-\frac{k.ac}{ia.ic}$ .

Поступая аналогично с $c'b', \, a'd',\, d'b'$ , в итоге получим:

$\frac{a'c'}{c'b'}:\frac{a'd'}{d'b'}= \frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}$ ,

то есть:

(a' b' c' d') = (a b c d)

.

Пусть теперь имеется проективные звезда и пункутал. Пересекая звезду произвольной секущей, получим новый пунктуал, проективный звезде, а, следовательно, и данному пунктуалу (§ 7). Пусть $a,\, b,\, c,\, d$ — четыре точки данного пункутала, $A, \, B,\, C, \, D$ — соответствующие им лучи звезды, а $a', \, b', \, c',\, d'$ — точки, в которых эти лучи пересекают секущую. Имеем:

(a' b' c' d') = (a b c d)

.

Но также верно (§ 2), что

(a' b' c' d') = sin(A B C D)

,

следовательно,

(a b c d) = sin(A B C D)

.

Наконец, пусть даны две проективные звезды: пересекая их с двумя секущими (или с одной и той же секущей), получим два пунктуала, проективных соответствующим звездам, а следовательно и проективных друг другу. Пусть $A, \, B,\, C,\, D$ — четыре луча первой звезды, а $A', \, B',\, C',\, D'$ — соответствующие им лучи второй; $a,\, b,\, c,\, d$ и $a', \, b',\, c', \,d'$ — точки, в которых эти лучи пересекают соответствующие секущие. В силу проективности пункуталов имеем

(a' b' c' d') = (a b c d)

.

Кроме того (§ 2) верно:

$(a'b'c'd') = \sin (A'B'C'D'), \quad (abcd) = \sin (ABCD)$ ,

следовательно,

sin(A' B' C' D') = sin(A B C D)

.

Таким образом, в двух проективных образах ангармоническое отношение четырех произвольных элементов равно ангармоническому отношению четырех соответствующих им элементов другого образа.

В следствие этого для фиксации проективности между двумя геометрическими образами, достаточно задать три пары соответствующих друг другу элементов, напр. $aa', \, bb', \, cc'$ . Тогда для каждого элемента $m$ первого образа, соответствующий элемент $m'$ второго образа может быть однозначно определен из условия равенства ангармонических отношений $(a' b' c' m')$ и $(a b c m)$ .

9. Предположим теперь, что две проективные прямые, на которых лежат точки проективных пункуталов, совпадают друг с другом, или же мы сами изобразили два проективных пункутала на одной и той же прямой, что, напр., получилось выше (§ 8), когда две проективные звезды мы посекли одной и той же секущей. Проективность двух пунктуалов выражается уравнением (2):

i m . j' m' = k

.

При его помощи, мы найдем такие точки $m$ , которые совпадают с соответствующими им точками $m'$ .

Представив себе, что два пунктуала образованы одновременным движением соответствующих друг другу точек $m,\, m'$ , сразу видим, что эти две точки движутся в одну сторону или в противоположные стороны в зависимости от того, отрицательна или положительна постоянная $k$ .

Пусть $k > 0$ . В этом случае очевидно, что на продолжении отрезка $j'i\dots$ можно взять такую точку $e$ , для которой верно $i e . j' e = k$ , а на продолжении $ij'\dots$ такую точку $f$ , отстоящую от $j'$ как $e$ от $i$ , тогда $i f . j' f = k$ . То есть точки $e,\, f$ , рассматриваемые как элементы одного из двух пунктуалов, совпадают с соответствующими им точками второго пунктуала.

Пусть теперь $k = - h 2$ . Точки $m,\, m'$ не могут в этом случае совпасть вне отрезка $i j'$ . Таким образом, вопрос сводится к делению этого отрезка на две части $im,\, mj'$ , такие, чтобы построенный на них прямоугольник имел площадь $h 2$ . Следовательно, если $2 h < i j'$ , имеется две точки $e,\, f$ , делящие таким образом отрезок $i j'$ . В самом деле, построим на отрезке $i j'$ как на диаметре полукруг, тогда из точек полуокружности можно опустить на $i j'$ ровно два перпендикуляра, длина которых была бы равна $h$ . Основания этих перпендикуляров и есть искомые точки $e,\, f$ . Если $2 h = i j'$ , то имеется только одна единственная точка — середина отрезка $i j'$ , обладающая указанным свойством. Наконец, если $2 h > i j'$ , то задача не допускает вещественного решения.

Таким образом, два проективные пунктуала, наложенные друг на друга, имеют две общие точки (итал. punti comuni)^[5], вещественные, мнимые или совпадающие, равноотстоящие от середины отрезка $i j'$ .

То, что общих точек не может быть больше двух, можно было предвидеть заранее, поскольку два проективных пунктуала имеющих три точки, совпадающих с соответствующими им точками второго, совпадали бы тождественно. В самом деле, если $(a b c m) = (a b c m')$ , то точка $m'$ совпадает с $m$ .

Если $e,\, f$ — точки, общие двум проективным и наложенным друг на друга пунктуалам, в которых $aa', \, bb'$ — две пары соответствующих точек, то равенство ангармонических отношений дает:

(a b e f) = (a' b' e f)

,

что можно переписать так:

(a a' e f) = (b b' e f)

,

это означает, что ангармоническое отношение $(a a' e f)$ не зависит от выбора пары $a a'$ .

10. Пусть даны две проективные звезды, имеющие один и тот же центр. Пересекая их с секущей, получим два проективных пункутала: две соответствующие друг другу точки $m,\, m'$ являются пересечениями секущей с двумя соответствующими друг другу лучами $M,\, M'$ двух звезд. Пусть $e, \, f$ — общие точки двух пункуталов. Тогда точки $e,\, f$ первого пункутала совпадают с соответствующими им точками $e',\, f'$ второго пункутала, и, следовательно, также и лучи $E,\, F$ первой звезды совпадают с лучами лучами $E',\, F'$ , отвечающими им во второй звезде. Таким образом, две проективные концентрические звезды имеют два общих луча, вещественных, мнимых или совпадающих, то есть два луча, которые соответствуют сами себе.

Примечания

↑ Bellavitis, Geometria descrittiva, Padova 1851, p. 75.
↑ Это терминология сильно отличается от принятой ныне. Особо следует заметить, что Кремона различает прямую и множество всех точек, лежащей на этой прямой. При этом он строго следует принципу двойственности: точка-прямая, пунктуал-звезда. — Перев.
↑ Chasles, Principe de correspondance entre deux objets variables etc. (Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 decembre 1855). — Battaglini, Sulla dipendenza scambievole delle figure (Memorie della R. Accademia delle scienze, vol. 2, Napoli 1857, p. XXI e p. 188).
↑ Ниже слово «проективный» используется в тех же конструкциях, в каких возможно использовать слово «равный», что сохранено и в переводе. — Перев.
↑ Термин общая точка (англ. general point), используемый в современной алгебраической геометрии, соответствует скорее произвольной точке. — Перев.

[0] Bellavitis, Geometria descrittiva, Padova 1851, p. 75.

[1] Это терминология сильно отличается от принятой ныне. Особо следует заметить, что Кремона различает прямую и множество всех точек, лежащей на этой прямой. При этом он строго следует принципу двойственности: точка-прямая, пунктуал-звезда. — Перев.

[2] Chasles, Principe de correspondance entre deux objets variables etc. (Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 decembre 1855). — Battaglini, Sulla dipendenza scambievole delle figure (Memorie della R. Accademia delle scienze, vol. 2, Napoli 1857, p. XXI e p. 188).

[3] Ниже слово «проективный» используется в тех же конструкциях, в каких возможно использовать слово «равный», что сохранено и в переводе. — Перев.

[4] Термин общая точка (англ. general point), используемый в современной алгебраической геометрии, соответствует скорее произвольной точке. — Перев.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/Проективность

Материал из Викитеки — свободной библиотеки

Проективность пунктуалов и звезд

Примечания

Просмотры

Личные инструменты

Поиск

Навигация

участие

Инструменты

Печать/Экспорт

На других языках