Живая математика (Перельман)/Глава 3

Живая математика — Глава 3
автор Яков Исидорович Перельман (1882-1942)

Опубл.: 1934. Источник: Я. И. Перельман. Живая математика. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1967. — 160 с.

Глава 3. Ещё дюжина головоломок

31. Веревочка ^[1]).— Ещё веревочку? — спросила мать, вытаскивая руки из лоханки с бельем.— Можно подумать, что я вся веревочная. Только и слышишь: веревочку да веревочку. Ведь я вчера дала тебе порядочный клубок. На что тебе такая уйма? Куда ты ее девал?

— Куда девал бечевку? — отвечал мальчуган.— Во-первых, половину ты сама взяла обратно…

— А чем же прикажешь мне обвязывать пакеты с бельём?

— Половину того, что осталось, взял у меня Том, чтобы удить в канаве колюшек.

— Старшему брату ты всегда должен уступать.

— Я и уступил. Осталось совсем немного, да из того еще папа взял половину для починки подтяжек, которые лопнули у него от смеха, когда случилась беда с автомобилем. А после понадобилось еще сестре взять две пятых оставшегося, чтобы завязать свои волосы узлом…

— Что же ты сделал с остальной бечевкой?

— С остальной? Остальной-то было всего-навсего 30 см! Вот и устраивай телефон из такого обрывка…

Какую же длину имела бечевка первоначально?

32. Носки и перчатки. В одном ящике лежат 10 пар коричневых и 10 пар черных носков, в другом — 10 пар коричневых и 10 пар черных перчаток. По сколько носков и перчаток достаточно извлечь из каждого ящика, чтобы из них можно было выбрать одну (какую-либо) пару носков и одну пару перчаток?

33. Долговечность волоса. Сколько в среднем волос на голове человека? Сосчитано: около 150 000 ^[2]). Определено также, сколько их средним числом выпадает в месяц: около 3000.

Как по этим данным высчитать, сколько времени — в среднем, конечно, — держится на голове каждый волос?

34. Заработная плата. Мой заработок за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 130 руб. Основная плата на 100 руб. больше, чем сверхурочные. Как велика моя заработная плата без сверхурочных?

35. Лыжный пробег. Лыжник рассчитал, что если он станет делать в час 10 км, то прибудет на место назначения часом позже полудня; при скорости же 15 км в час он прибыл бы часом раньше полудня.

С какой же скоростью должен он бежать, чтобы прибыть на место ровно в полдень?

36. Двое рабочих. Двое рабочих, старик и молодой, проживают в одной квартире и работают на одном заводе. Молодой доходит от дома до завода в 20 мин., старый — В 30 мин. Через сколько минут молодой догонит старого, если последний выйдет из дому 5 минутами раньше его?

37. Переписка доклада. Переписка доклада поручена двум машинисткам. Более опытная из них могла бы выполнить всю работу в 2 часа, менее опытная — в 3 часа.

Во сколько времени перепишут они этот доклад, если разделят между собою работу так, чтобы выполнить ее в кратчайший срок?

Задачи такого рода обычно решают по образцу знаменитой задачи о бассейнах. А именно: в нашей задаче находят, какую долю всей работы выполняет в час каждая машинистка, складывают обе дроби и делят единицу на эту сумму. Не можете ли вы придумать новый способ решения подобных задач, отличный от шаблонного?

38. Две зубчатки. Шестерёнка о 8 зубцах сцеплена о колесом, имеющим 24 зубца (рис. 28). При вращении большего колеса Шестерёнка обходит кругом него.

Спрашивается, сколько раз обернется шестерёнка вокруг своей оси за то время, пока она успеет сделать один полный оборот вокруг большей зубчатки?

Рис. 28. Сколько раз обернется шестеренка?

39. Сколько лет? У любителя головоломок спросили, сколько ему лет. Ответ был замысловатый:

— Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад,— у вас как раз и получатся мои годы.

Сколько же ему теперь лет?

40. Семья Ивановых. Сколько лет Иванову?

— Давайте, сообразим. Восемнадцать лет назад он был ровно втрое старше своего сына. Я хорошо это помню, потому что в тот год происходила перепись населения.

— Позвольте, насколько мне известно, он теперь как раз вдвое старше своего сына. Это другой сын?

— Нет, тот же: у него только один сын. И потому нетрудно установить, сколько сейчас лет Иванову и его сыну.

Сколько, читатель?

41. Приготовление раствора. В одной мензурке имеется немного соляной кислоты, в другой — такое же количество воды. Для приготовления раствора сначала выпили из первой мензурки во вторую 20 г кислоты. Затем две трети раствора, получившегося во второй мензурке, перелили в первую. После этого в первой мензурке оказалось вчетверо больше жидкости, чем во второй. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?

42. Покупки. Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 руб. отдельными рублями и 20-копеечными монетами. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько было у меня первоначально 20-копеечных монет, и столько 20-копеечных монет, сколько имел я раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с какой я отправился за покупками.

Сколько стоили покупки?

1. Эта головоломка принадлежит английскому беллетристу Барри Пэну.
2. Многих удивляет, как могли это узнать: неужели пересчитали один за другим все волосы на голове? Нет, этого не делали: сосчитали лишь, сколько волос на 1 кв. см поверхности головы. Зная это и зная поверхность кожи, покрытой волосами, легко уже определить общее число волос на голове. Короче сказать, число волос сосчитано анатомами таким же приемом, каким пользуются лесоводы при пересчете деревьев в лесу.

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 31-42

31. После того как мать взяла половину, осталась 1/2; после заимствования старшего брата осталась 1/4; после отца 1/8, после сестры ${\frac {1}{8}}\times {\frac {3}{5}}={\frac {3}{40}}$. Если 30 см составляют 3/40 первоначальной длины, то вся длина равна $30:{\frac {3}{40}}=400$ см, или 4 м.

32. Достаточно трёх носков, так как два из них всегда будут одинакового цвета. Не так просто обстоит дело с перчатками, которые отличаются друг от друга не только цветом, но ещё и тем, что половина перчаток правые, а половина — левые. Здесь достаточно будет 21 перчатки. Если же доставать меньшее количество, например 20, то может случиться, что все 20 будут на одну и ту же руку (10 коричневых левых и 10 чёрных левых).

33. Позже всего выпадет, конечно, тот волос, который сегодня моложе всех, т. е. возраст которого — 1 день.

Посмотрим же, через сколько времени дойдёт до него очередь выпасть. В первый месяц из тех 150 000 волос, которые сегодня имеются на голове, выпадет 3 тысячи, в первые два месяца — 6 тысяч, в течение первого года — 12 раз по 3 тысячи, т. е. 36 тысяч. Пройдёт, следовательно, четыре года с небольшим, прежде чем наступит черёд выпасть последнему волосу. Так определилась у нас средняя долговечность человеческого волоса: 4 с небольшим года.

34. Многие, не подумав, отвечают: 100 руб. Это неверно: ведь тогда основная заработная плата будет больше сверхурочных только на 70 руб., а не на 100.

Задачу нужно решать так. Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 100 руб., то получим основную заработную плату. Поэтому если к 130 руб. прибавим 100 руб., то у нас должны составиться две основные заработные платы. Но 130+100=230. Значит, двойная основная зарплата составляет 230 руб. Отсюда одна заработная плата без сверхурочных равна 115 руб., сверхурочные же составят остальное от 130 руб., т. е. 15 руб.

Проверим: заработная плата, 115 руб., больше сверхурочных, т. е. 15 руб., на 100 руб., — как и требует условие задачи.

35. Эта задача любопытна в двух отношениях: во-первых, она легко может внушить мысль, что искомая скорость есть средняя между 10 км и 15 км в час, т. е. равна 12½ км в час. Нетрудно убедиться, что такая догадка неправильна. Действительно, если длина пробега a километров, то при 15-километровой скорости лыжник будет в пути ${\frac {a}{15}}$ часов, при 10-километровой ${\frac {a}{10}}$, при 12½-километровой ${\frac {a}{12{\frac {1}{2}}}}$ или ${\frac {2a}{25}}$. Но тогда должно существовать равенство

${\frac {2a}{25}}-{\frac {a}{15}}={\frac {a}{10}}-{\frac {2a}{25}}$

потому что каждая из этих разностей равна одному часу. Сократив на a, имеем

${\frac {2}{25}}-{\frac {1}{15}}={\frac {1}{10}}-{\frac {2}{25}}$

или иначе

${\frac {4}{25}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$

равенство получилось неверное

${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{6}}$, т. е. ${\frac {4}{24}}$, а не ${\frac {4}{25}}$

Вторая особенность задачи та, что она может быть решена не только без помощи уравнений, но даже просто устным расчётом.

Рассуждаем так: если бы при 15-километровой скорости лыжник находился в пути на два часа дольше (т. е. столько же, сколько при 10-километровой), то он прошёл бы путь на 30 км больший, чем прошёл в действительности. В один час, мы знаем, он проходит на 5 км больше; значит, он находился бы в пути 30:5=6 час. Отсюда определяется продолжительность пробега при 15-километровой скорости: 6-2=4 часа. Вместе с тем становится известным и проходимое расстояние: 15×4=60 км.

Теперь легко уже найти, с какой скоростью должен лыжник идти, чтобы прибыть на место ровно в полдень,— иначе говоря, чтобы употребить на пробег 5 час: 60:5=12 км в час.

Легко убедиться испытанием, что этот ответ правилен.

36. Задачу можно решить, не обращаясь к уравнению, и притом различными способами.

Вот первый приём. Молодой рабочий проходит в 5 мин. 1/4 пути, старый — 1/6 пути, т. е. меньше, чем молодой, на

${\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{12}}$

Так как старый опередил молодого на 1/6 пути, то молодой настигнет его через

${\frac {1}{6}}:{\frac {1}{12}}=2$

пятиминутных промежутка, иначе говоря, через 10 мин.

Другой приём проще. На прохождение всего пути старый рабочий тратит на 10 мин. больше молодого. Выйди старик на 10 мин. раньше молодого, оба пришли бы на завод в одно время. Если старик вышел только на 5 мин. раньше, то молодой должен нагнать его как раз посередине пути, т. е. спустя 10 мин. (весь путь молодой рабочий проходит в 20 мин.).

Возможны ещё и другие арифметические решения.

37. Нешаблонный путь решения задачи таков. Прежде всего поставим вопрос: как должны машинистки поделить между собою работу, чтобы закончить её одновременно? (Очевидно, что только при таком условии, т. е. при отсутствии простоя, работа будет выполнена в кратчайший срок.) Так как более опытная машинистка пишет в 1½ раза быстрее менее опытной, то ясно, что доля первой должна быть в 1½ раза больше доли второй — тогда обе кончат писать одновременно. Отсюда следует, что первая должна взяться переписывать 3/4 доклада, вторая — 2/5.

Собственно задача уже почти решена. Остаётся только найти во сколько времени первая машинистка выполнит свои 3/5 работы. Всю работу она может сделать, мы знаем, в 2 часа; значит, 3/5 работы будет выполнено в $2\times {\frac {3}{5}}=1{\frac {1}{5}}$ часа. В такое же время должна сделать свою долю работы и вторая машинистка.

Итак, кратчайший срок, в какой может быть переписан доклад обеими машинистками,— 1 час 12 мин.

Можно предложить и другое решение. За 6 часов первая машинистка могла бы трижды перепечатать доклад, а вторая за этот же срок перепечатает доклад дважды. Значит вместе они за 6 часов могли бы 5 раз перепечатать доклад (т. е. смогли бы за 6 часов перепечатать в пять раз большее количество страниц, чем имеется в докладе). Но тогда для перепечатки доклада им надо в пять раз меньше времени, чем 6 часов, т. е. им нужно 6 час : 5 = 1 час. 12 мин.

38. Если вы думаете, что шестерёнка обернётся три раза, то ошибаетесь: она сделает не три, а четыре оборота.

Чтобы наглядно уяснить себе, в чем тут дело, положите перед собою на гладком листке бумаги две одинаковые монеты, например две 20-копеечные, так, как показано на рис. 29. Придерживая рукой нижнюю монету, катите по её ободу верхнюю. Вы заметите неожиданную вещь: когда верхняя монета обойдёт нижнюю наполовину и окажется внизу, она успеет сделать уже полный оборот вокруг своей оси; это будет видно по положению цифр на монете. А обходя неподвижную монету кругом монета наша успеет обернуться не один, а два раза.

Рис. 29. Обходя неподвижную монету, другая монета успеет обернуться не один, а два раза.

Вообще когда тело, вертясь, движется по кругу, оно делает одним оборотом больше, чем можно насчитать непосредственно. По той же причине и наш земной шар, обходя вокруг солнца, успевает обернуться вокруг своей оси не 365 с четвертью, а 366 с четвертью раз, если считать обороты не по отношению к солнцу, а по отношению к звёздам. Вы понимаете теперь, почему звёздные сутки короче солнечных.

39. Арифметическое решение довольно запутанное, но задача решается просто, если обратиться к услугам алгебры и составить уравнение. Искомое число лет обозначим буквою x. Возраст спустя три года надо тогда обозначить через x+3, а возраст три года назад через x — 3. Имеем уравнение

$3(x+3)-3(x-3)=x,$

решив которое, получаем x = 18. Любителю головоломок теперь 18 лет.

П р о в е р и м: через три года ему будет 21 год, три года назад ему было 15 лет. Разность

$3\cdot 21-3\cdot 15=63-45=18,$

т. е. равна нынешнему возрасту любителя головоломок.

'40. Как и предыдущая, задача разрешается с помощью несложного уравнения. Если сыну теперь x лет, то отцу 21. Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: отцу 2x-18, сыну x-18. При этом известно, что отец был тогда втрое старше сына

$3(x-18)=2x-18.$

Решив это уравнение, получаем x = 36: сыну теперь 36 лет, отцу 72.

41. Пусть вначале в первой мензурке было x г соляной кислоты, во второй x г воды. После первого переливания в первой мензурке стало (x-20) г кислоты, а во второй всего кислоты и воды (x + 20) г. После второго переливания во второй мензурке останется ⅓(x+20) г жидкости, а в первой станет

$x-20+{\frac {2}{3}}\left(x+20\right)={\frac {5x-20}{3}}.$

Так как известно, что в первой мензурке оказалось жидкости вчетверо меньше, чем во второй, то

${\frac {4}{3}}\left(x+20\right)={\frac {5x-20}{3}},$

откуда x=100, т. е. в каждой мензурке было по 100 г.

42. Обозначим первоначальное число отдельных рублей через x, а число 20-копеечных монет через y. Тогда, отправляясь за покупками, я имел в кошельке денег

$(100x+20y)$ коп.

Возвратившись, я имел

$(100y+20x)$ коп.

Последняя сумма, мы знаем, втрое меньше первой; следовательно,

$3(100y+20x)=100x+20y.$

Упрощая это выражение, получаем

$x=7y.$

Если y = 1, то x = 7. При таком допущении у меня первоначально было денег 7 р. 20 к.; это не вяжется с условием задачи («около 15 рублей»).

Испытаем у = 2; тогда x = 14. Первоначальная сумма равнялась 14 р. 40 к., что хорошо согласуется с условием задачи.

Допущение у = 3 даёт слишком большую сумму денег: 21 р. 60 к.

Следовательно, единственный подходящий ответ — 14 р. 40 к. После покупок осталось 2 отдельных рубля и 14 монет 20-копеечных, т. е. 200+280=480 коп.; это действительно составляет треть первоначальной суммы (1440:3=480).

Израсходовано же было 1440—480=960. Значит, стоимость покупок 9 р. 60 к.