К теореме о разложимости преобразований Кремоны на плоскости (Б. К. Млодзиевский)

К теореме о разложимости Кремоновых преобразований на плоскости автор Болеслав Корнелиевич Млодзиевский

Опубл.: 1913. Источник: Математический сборник, т. 29. C. 269-275.

Как известно, Нётер и Розанес одновременно доказали в 1871 году, что каждое Кремоново преобразование на плоскости, все центры которого различны (не сливаются между собою), может быть разложено на ряд преобразований второй степени. Доказательство этой теоремы, существенная важность которой очевидна, основывается на том, что в той Кремоновой сети кривых одной плоскости, в которую данное Кремоново преобразование превращает сеть прямых линий на другой плоскости, наивысшая сумма кратностей этих кривых в трех из центров сети всегда больше, чем порядок кривых сети, т.е. чем порядок этого Кремонова преобразования. В самом деле, обозначим через $n$ порядок данного Кремонова преобразования и через $\alpha_1, \, \alpha_2, \, \alpha_3$ порядки кратности Кремоновых кривых в трех высших центрах $A_1, \, A_2, \, A_3$ Кремоновой сети. Тогда, если мы примем точки $A_1, \, A_2, \, A_3$ за три центра квадратичного преобразования, то это преобразование превратит кривые нашей сети в кривые порядка $2n-(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)$. Таким образом, если $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3>n$, то порядок новых кривых будет менее $n$, и, следовательно, порядок Кремонова преобразования понизится. Продолжая поступать таким образом, мы разложим данное Кремоново преобразование на ряд преобразований второй степени.

Предложение, выражаемое неравенством $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3>n$, на котором основан предыдущий вывод, доказывалось неоднократно, но все доказательства этого предложения, данные различными учеными, чрезмерно искусственны и сложны. Наиболее простое доказательство было предложено К. А. Андреевым в его сочинении «О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий» («Математический Сборник», т. IX, 1878). Доказательство того же предложения, предлагаемое мною в настоящей статье, как мне кажется, приводит к цели наиболее естественным и простым путем.

Пусть мы имеем Кремоново преобразование $n$—го порядка, где $n\geq 2$. Пусть сеть Кремоновых кривых этого преобразования имеет $k$ центров $A_1, \, A_2, \dots A_k$, в которых кривые сети имеют точки с кратностями $\alpha_1, \, \alpha_2, \dots \alpha_k$, при чем эти центры расположены в порядке убывания их кратностей, так что

$\alpha_1\geq \alpha_2 \geq \dots \geq \alpha_k$

Докажем, что $\alpha_1+\alpha_2 +\alpha_3>n$.

Известно, что числа $\alpha$ удовлетворяют двум соотношениям

$\frac{1}{2}\sum \limits_{r=1}^k \alpha_r (\alpha_r+1)= \frac{1}{2}n(n+3)-2$, $\sum\limits_{r=1}^k\alpha_r^2=n^2-1$

(1.)

из которых первое выражает, что кривые, проходящие через центры $A$, образуют сеть, а второе, что каждые две кривые сети имеют, кроме центров $A$, еще только одну точку пересечения.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем которое показывает, что все кривые сети — уникурсальные и что все их кратные точки входят в число центров сети. Уравнения (1) можно заменить двумя следующими:

$\alpha_1^2 +\alpha_2^2 +\dots +\alpha_k^2=n^2-1$,

(2.)

$\alpha_1 +\alpha_2 +\dots +\alpha_k=3(n-1)$.

(3.)

Так как кривая $n$-го порядка не может иметь кратных точек выше $(n-1)$-й кратности, то каждое число $\alpha_r$ не может быть более $n-1$; а тогда второе уравнение показывает, что $k$, число центров сети, не может быть менее трех.

Обращаемся к доказательству нашей теоремы. Разложим в первом равенстве все члены, кроме первых двух, на два множителя, и сохраняя один из множителей, заменим другой везде через $\alpha_3$. Так как $\alpha_3$ не менее каждого из последующих указателей кратности $\alpha_4, \dots, \alpha_k$, то такая замена может только увеличить левую часть, и мы будем иметь

$\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3 (\alpha_3 +\alpha_4 + \dots + \alpha_k)\geq n^2-1$,

или, на основании второго равенства,

$\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3 [3(n-1)-\alpha_1 -\alpha_2]\geq n^2-1$.

Последнее неравенство можно представить так:

$\alpha_1(\alpha_1 - \alpha_3) + \alpha_2(\alpha_2-\alpha_3) + 3(n-1)\alpha_3 \geq n^2-1$.

Мы уже видели, что указатели $\alpha_1$ и $\alpha_2$ не могут быть более $n-1$; поэтому, заменяя их через $n-1$, мы можем только усилить неравенство и получим

$(n-1)(\alpha_1 - \alpha_3) + (n-1)(\alpha_2-\alpha_3) + 3(n-1)\alpha_3 \geq n^2-1$.

или

$(n-1)(\alpha_1 +\alpha_2+ \alpha_3) \geq n^2-1$.

Так как $n>1$, то отсюда, сокращая на $n-1$, получим требуемое неравенство

$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3>n$.

(4.)

Пользуясь тем же приемом, можно весьма просто доказать и более общую теорему Noether'а, полученную им довольно сложным и притом косвенным путем («Mathematische Annalen», Bd. V, 1872). Возьмем в ряде указателей $\alpha_1, \, \alpha_2, \dots, \alpha_k$ столько последовательных указателей, начиная с $\alpha_2$, чтобы их сумма не превышала $\alpha_1$. Таким образом, если эти указатели будут $\alpha_2, \, \alpha_3, \dots, \alpha_{h-1}$, то будем иметь

$\alpha_2 + \alpha_3 + \dots + \alpha_{h-1}\leq \alpha_1$.

(5.)

Здесь число $h$ не есть непременно наибольший нумер указателя, удовлетворяющий нашему требованию. Поэтому, если сумма $\alpha_2 + \alpha_3 + \dots + \alpha_{h-1}$ удовлетворяет условию (5), то вместо неё мы можем взять $\alpha_2 + \alpha_3 + \dots + \alpha_{h-2}$ или $\alpha_2 + \alpha_3 + \dots + \alpha_{h-3}$ и т. д. Легко видеть, что указатель $h$, удовлетворяющий условию (5), всегда существует, так как $\alpha_2 \leq \alpha_1$ и потому, положив $h=3$, мы наверное получим одночленную сумму, удовлетворяющую условию (5).

Пусть будет $\alpha_h$ указатель кратности, слйдующiй за $\alpha_{h-1}$. Такой указатель наверное существует, так как из условiя (5) следуеть, что

$\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_{h-1}\leq 2\alpha_1\leq 2 (n-1)$,

а так как согласно равенству (3), сумма всех указателей $\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_{k}$ равна $3(n-1)$, то число $k$ всех центров сети должно быть более, чем $h-1$.

Рассмотрим, например, одно из Кремоновых преобразований порядка $n=15$. Оно имеет десять центров следующих кратностей:

$\alpha_1=10, \, \alpha_2=\alpha_3=5, \, \alpha_4=\alpha_5=\alpha_5=4, \, \alpha_7=\alpha_8=3, \, \alpha_9=\alpha_{10}=2$

Здесь $k=10$, $h$ может быть 3 или 4.

Noether доказал, что если $h$ удовлетворяет условию (5), то имеет место неравенство

$\alpha_1+2\alpha_h>n$.

(6.)

Мы докажем это предложение весьма просто следующим образом. Разложим, как и выше, в равенстве (2) каждое слагаемое левой части на два множителя; но теперь заменим первые множители во всех членах от $\alpha_2^2$ до $\alpha_{h-1}^2$ через $\alpha$, а во всех членах от $\alpha_h^2$ до конца — через $\alpha_h^2$. От этого левая часть может только увеличиться, и мы будем иметь

$\alpha_1^2 + \alpha_2(\alpha_2 +\alpha_3 +\dots + \alpha_{h-1}) + \alpha_h(\alpha_h + \alpha_{h+1} + \dots + \alpha_k) \geq n^2-1$,

или, на основании (3)

$\alpha_1^2 + \alpha_2(\alpha_2 +\alpha_3 +\dots + \alpha_{h-1}) + \alpha_h(3(n-1)-\alpha_1 + \alpha_{2} + \dots + \alpha_{h-1}) \geq n^2-1$,

или, иначе,

$(\alpha_1-\alpha_h)\alpha_1 + (\alpha_2-\alpha_h) (\alpha_2 +\alpha_3 +\dots + \alpha_{h-1}) + 3(n-1)\alpha_h \geq n^2-1$.

Но, по условию (5), это неравенство может только усилиться от замены множителя при $(\alpha_2-\alpha_h)$ через $\alpha_1$. Поэтому имеем

$(\alpha_1+\alpha_2 -2\alpha_h) \alpha_1 + 3(n-1)\alpha_h\geq n^2-1$,

или

$(\alpha_1+\alpha_2) \alpha_1 -2\alpha_1\alpha_h + 3n\alpha_h - 3 \alpha_h\geq n^2-1$.

Так как $2\alpha_1\geq \alpha_1 + \alpha_2$ и $3 \alpha_h >1$, то отсюда следует

$(\alpha_1 + \alpha_2) (\alpha_1-\alpha_2) - 3n \alpha_h \geq n^2$.

Но $\alpha_1+\alpha_2 \leq n$, так как в противном случае прямая, соединяющая два высших центра $A_1$ и $A_2$ Кремоновой сети, встречала бы кривые $n$-го порядка, образующие эту сеть, больше чем в $n$ точках. Поэтому мы можем только усилить последнее неравенство, заменив в нем $\alpha_1+\alpha_2$ через $n$. Мы будем иметь

$n(\alpha_1 - \alpha_h) + 3n \alpha_h > n^2$,

или

$\alpha_1+2\alpha_h > n$.

(6.)

Таким образом, теорема Нётера нами доказана.

Легко видеть, что теорема Нётера содержит в себе, как частный случай, теорему, выражаемую неравенством (4). Последнее получается из (6) при $h=3$.

Из теоремы Noether'а вытекает следующее важное свойство Кремоновой сети. Пусть будет $A_g$ центр сети, нумер которого более единицы, но менее $h$. Так как центры расположены в порядке убывания их кратностей, то $\alpha_g \geq \alpha_h$. Поэтому из неравенства (5) следует

$\alpha_1 +\alpha_g +\alpha_h >n$.

Это показывает, что мы понизим порядок Кремонова преобразования не только в том случае, если применим к нему квадратичное преобразование, центры которого лежат в трех высших центрах $A_1, \, A_2, \, A_3$ сети, как мы это видели в первой части этой статьи. Порядок сети понизится всякий раз, когда мы возьмем, кроме наивысшего центра $A_1$, два других, нумера которых не более наибольшего числа $h$, удовлетворяющего условию (5)

$\alpha_2 + \alpha_3 + \dots + \alpha_{h-1}\leq \alpha_1$.

Так, в приведенном выше примере Кремонова преобразования при $n=15$ мы имеем $h\leq 4$, и потому мы наверное понизим порядок этого преобразования, поместив один центр квадратичного преобразования в $A_1$, а два других в двух из трех точек $A_2, \, A_3, \, A_4$. Действительно, мы имеем, например,

$\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4 = 10 + 5 + 4> 15$.

Теорема Нётера показывает, что в тех случаях, когда $h>3$, мы можем понизить порядок Кремонова преобразования посредством нескольких различных квадратичных преобразований. Это обстоятельство имеет особенное значение в тех случаях, когда три высших центра Кремонова преобразования сливаются между собою и не могут быть приняты за центры квадратичного преобразования.