В строгой математической форме это можно записать
Цо теореме Стокса, из формулы (5) следует rot 1? = О, (6) т. ezB поле, Обладающем П., отсутствуют вихри, и следовательно силовые линии такого поля не’могут быть замкнутыми.
Так как работа сил потенциального поля определяется только разностью П., а не абсолютным значением их, то в формуле (4) можно к <р и <р' прибавить одну и ту же произвольную постоянную, отчего величина работы не изменится. Таким образом, мы произвольно можем приписать любой точке поля нолевой П. и отсчитывать от него П. других точек. Это имеет большое значение, т. к. в действительности мы никогда не знаем абсолютного значения, П., а только разности И., которые только и имеют физический смысл. На практике, в случае электрических сил, за нолевой П. принимают П. земли.
Распределение П. в пространстве характеризует напряженность сил поля. Сравнивая (1) и (3), мы можем написать •
К?)
Так как представляет собой напряженность электрического поля, то К = -^,
(8)
т. е. напряженность электрич. поля равна падению П. на единице длины. Величина^ называется градиентом П. и обозначается через grad ср. Сказанное здесь оказывается справедливым для произвольного потенциального поля, поэтому и в общем случае — Е7 = - grad <?.
- (9) Выражение (9) оказывается сцраведливым не только в случае П. силового поля, но применимо к целому ряду других полей, напр., к полю скоростей потенциального (безвихревого) течения в гидродинамике, где скорости v определяются аналогично (9): |г> = — grady>.
(9') Здесь величина^ имеет уже другой физический смысл, чем <р в (9), но у> по аналогии с <р называют П. скоростей. В поле температуры при стационарном тепловом токе роль <р играет температура и т. д.
В общей форме П. можно определить как скалярную функцию Ф безвихревого ноля вектора А, при помощи к-рой поле этого вектора определяется соотношением: — grad Ф.
(10) П. удовлетворяет уравнению Лапласа- — Пуассона: д2ф, 02ф 02ф dxi + ау2- + 97i = “4лз(х’ 7) 1 (115 где q (х, v, г) — плотность источников, вызывающих рассматриваемое поле (электрич. заряды, тяжелые массы ит. д.). Это уравнение имеет только единственное решение, т. е. П. является однозначной функцией координат <о = / (х, у, ?). Ф = const представляет собой ] уравнение поверхности равного П. и называется эквипотенциальной поверхностью.
Нахождение П. в очень большом числе случаев облегчает решение целого ряда задач, т. к. математические операции со скалярами проще, чем с векторами.
Название П. применяется также в целом ряде случаев, к-рые не подходят под определение, даваемое выражением (10). Сюда относятсявектор-потенциал (см. Потенциал векторный), термодинамический П. (термодинамич. функция, представляющая разность между теплосодержанием и произведением энтропии на абсолютную температуру) и т. д.
Лит.: Эйхенвальд А. А., Теоретическая физика, 2 изд., ч. 1 — Теория поля, М. — Л., 4932.
ПОТЕНЦИАЛ ВЕКТОРНЫЙ, или вектор — потенциал, векторная функция JT, характеризующая поле вектора В, если в этом поле имеются вихри TF. П. в. в известном смысле играет такую же роль, как и скалярный потенциал U поля источников q.
Понятием вектор-потенциала пользуются для описания электродинамических, гидродинамических и других полей.
В теории поля доказывается, что для нахождения значений вектор-потенциала А можно пользоваться уравнением Лапласа — Пуассона, но только в векторной форме (в отличие от скалярного потенциала):
02^, д2А 02А = (О дх* ’ ду2 ' dz2 Последнее уравнение равносильно трем,(по осям х, у, г) скалярным уравнениям Лапласа — Пуассона и имеет следующее решение: (2) v
где v — объем, г — радиус-вектор от точки наблюдения до источника W. По найденному таким образом векторпотенциалу определяется искомое поле гектора В по уравнению: В — го1А.
(3) ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ, понятие, введенное в гидродинамику Лагранжем. Если эйлеровские координаты движения жидкости могут быть выражены в виде частных производных одной и той же функции (р (х, у, z): 0Ф д<р dtp U = ~dx’ V=~dy^ W=--9V то движение называется потенциальным, а функция <р — потенциалом скоростей. П. с. однородной несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа: б2фд . W . 02у __ л
0X2^ 0у2 "Г 0/2
V*
Потенциальное движение жидкости характеризуется с кинематической стороны отсутствием вихрей: dw *~ду
dv dz
ди
dvt дх
j. IdvC <=“0х
ди
п
С динамической же точки зрения потенциальное движение несжимаемой жидкости характеризуется возможностью образовать такое движение из покоя приложением импульсивных давлений р; связь между <р ир: р=е<р.
Потенциальное движение газа может быть получено из состояния покоя приложением импульсивных объемных сил, имеющих потенциалом потенциал скоростей При изучении плоско-параллельных потенциальных движений, w=0, одновременно с П. с. вводят функцию тока у)(х, у), полагая: и = -дУ-, ду ’
v=* дх
Но так как и = — 0Х v = — Оу то отсюда имеем связь между П. с. и функцией тока в виде условий Коши — Римана, т. е. функция есть аналитическая функция комплексного переменного z=x+iy. Этот результат чрезвычайной важности позволяет широко пользоваться в гидродинамике жидкости методами
