Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/13

съ осью $x$ углы имѣющiе предѣломъ уголъ, составленный ассимптотою съ тою же осью, и проч. .... Для краткости мы будемъ означать прдѣлъ, къ которому стремится данная преремѣнная величина, поставляя передъ оной буквы пр.

Иногда предѣлы, къ коимъ приближаются перемѣнныя выраженiя представляются въ неопредѣленномъ видѣ; не смотря на сiе, онѣ имѣютъ однако же совершенно определенныя величины, которыя можно найти посредствомъ различныхъ прiемовъ. Такъ, напримеръ, предѣлы къ коимъ безпрестанно приближаются два перемѣнныя выраженiя

$${\frac {\sin \alpha }{\alpha }},(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }},$$

,

по мѣрѣ того, какъ $\alpha$ стремится къ нулю, представляются въ неопредѣленныхъ видахъ ${\frac {0}{0}}$, $1\pm \infty ;$ не смотря на сiе, оба сiи предѣла имѣютъ величины опредѣленныя, которыя можно вычислить слѣдующимъ образомъ:

Очевидно, что для весьма малыхъ численныхъ величинъ $\alpha$, будемъ имѣть слѣдующiя неравенства

$${\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha }}>{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}>{\frac {\sin \alpha }{\tan \alpha }}$$

.

Слѣдовательно отношенiе ${\frac {\sin a}{a}}$, заключающееся всегда между двумя количествами ${\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha }}=1$, и ${\frac {\sin \alpha }{\tan \alpha }}=\cos \alpha$, изъ коихъ первое служитъ предѣломъ второму, будетъ само имѣть предѣломъ единицу.

Теперь будемъ искать предѣлъ къ коему стремится выраженiе $(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}$, по мѣрѣ того, какъ $\alpha$ приближается къ нулю. Предполагая сперва что $\alpha$ есть количество положитель-