конуса, находящихся въ плоскости осеваго треугольника; эта наклонная будетъ равна экцентрицитету кривой сѣченія.
Построеніе фокусовъ на косомъ конусѣ показываетъ, что фокальныя линіи Кетле и Фанъ-Риса (van Rees) (кривыя третьей степени, представляющія геометрическое мѣсто фокусовъ коническихъ сѣченій, образуемыхъ различными плоcкостями, проводимыми чрезъ касательныя къ конусу перпендикулярно къ одной изъ главныхъ плоскостей его), разсматриваемыя въ плоскости, представляютъ геометрическое мѣсто точекъ привосновенія касательныхъ, проводимыхъ изъ неподвижной точки къ различнымъ кругамъ, имѣющимъ двѣ общія точки, или, общѣе, имѣющимъ попарно одну и ту же радикальную ось (axe de symptose). Это предложеніе высказано было нами безъ доказательства еще прежде.[1]
Но вмѣстѣ съ тѣмъ мы видимъ, что эти фокальныя линіи не всегда представляютъ вполнѣ геометрическое мѣсто фокусовъ коническихъ сѣченій; когда, напримѣръ, кривыя образуются плоскостями перпендикулярными къ плоскости осеваго треугольника, то кромѣ кривыхъ третьей степени получается еще кругъ, лежащій въ другой плоскости и дополняющій собою геометрическое мѣсто.
Это замѣчаніе ускользнуло отъ анализа, употребленнаго Фанъ Рисомъ въ его интересномъ мемуарѣ о фокальныхъ линіяхъ[2].
Предложенное нами построеніе фокусовъ коническихъ сѣченій на косомъ конусѣ не ведетъ къ доказательству свойствъ этихъ точекъ и не можетъ a priori обнаружить ихъ существованіе въ коническихъ сѣченіяхъ. Остается разсмотрѣть, какимъ образомъ можно придти къ открытію свойствъ фокусовъ, изслѣдуя кривыя втораго порядка на самомъ конусѣ.
Многіе геометры уже занимались этимъ вопросомъ.
Гамильтонъ, авторъ очень хорошаго сочиненія о коническихъ сѣченіяхъ[3], пытался вывести свойства директрисы на самомъ конусѣ. Но онъ разсматривалъ только прямой конусъ и предполагалъ извѣстными a priori фокусы каждаго сѣченія (p. 100, 122)
