Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/318

очевидно; потому что отрѣзокъ каждой касательной между сторонами угла видѣнъ изъ центра круга подъ постояннымъ угломъ^[1]; слѣдовательно отрѣзки двухъ касательныхъ между сторонами угла видны изъ центра подъ равными углами. Отсюда заключаемъ, что четыре прямыя, проведенныя изъ центра къ точкамъ встрѣчи четырехъ касательныхъ съ одною стороною угла, имѣютъ одинаковое ангармоническое отношеніе съ четырьмя прямыми, проведенными къ точкамъ встрѣчи касательныхъ съ другою стороною, a потому и точки дѣленія на той и другой сторонѣ угла имѣютъ одинаковыя ангармоническія отношенія.

Теорема такимъ образомъ доказана.

Этой теоремѣ можно дать иной видъ, выразивъ ее трехчленнымъ уравненіемъ, и тогда она является новымъ предложеніемъ, способнымъ къ новымъ многочисленнымъ примѣненіямъ.

Это новое предложеніе мы изложимъ слѣдующимъ образомъ:

На плоскости даны двѣ сѣкущія; на первой изъ нихъ произвольно взяты двѣ постоянныя точки $O$, $E$, и на второй также двѣ постоянныя точки $O'$, $E'$; если двѣ точки $a$, $a'$ перемѣщаются по этимъ прямымъ такъ, что всегда существуетъ соотношеніе

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O'a'}{E'a'}}=\mu$,

гдѣ $\lambda$ и $\mu$ — постоянныя.

То прямая $aa'$ во всякомъ своемъ положеніи будетъ касаться коническаго сѣченія, касающагося двухъ данныхъ неподвижныхъ сѣкущихъ.

Это предложеніе ведетъ ко множеству слѣдствій, которыя мы получаемъ, располагая различнымъ образомъ данными вопроса, т.-е. двумя сѣкущими, четырьмя взятыми на нихъ точками и двумя коэффиціентами $\lambda ,\,\mu$.

1. [См., напр., Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. МЦНМО, 2002. Задача 3.1. ]

Тот же текст в современной орфографии

очевидно; потому что отрезок каждой касательной между сторонами угла виден из центра круга под постоянным углом^[1]; следовательно отрезки двух касательных между сторонами угла видны из центра под равными углами. Отсюда заключаем, что четыре прямые, проведенные из центра к точкам встречи четырех касательных с одною стороною угла, имеют одинаковое ангармоническое отношение с четырьмя прямыми, проведенными к точкам встречи касательных с другою стороною, a потому и точки деления на той и другой стороне угла имеют одинаковые ангармонические отношения.

Теорема таким образом доказана.

Этой теореме можно дать иной вид, выразив ее трехчленным уравнением, и тогда она является новым предложением, способным к новым многочисленным применениям.

Это новое предложение мы изложим следующим образом:

На плоскости даны две секущие; на первой из них произвольно взяты две постоянные точки $O$, $E$, и на второй также две постоянные точки $O'$, $E'$; если две точки $a$, $a'$ перемещаются по этим прямым так, что всегда существует соотношение

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O'a'}{E'a'}}=\mu$,

где $\lambda$ и $\mu$ — постоянные.

То прямая $aa'$ во всяком своем положении будет касаться конического сечения, касающегося двух данных неподвижных секущих.

Это предложение ведет ко множеству следствий, которые мы получаем, располагая различным образом данными вопроса, т. е. двумя секущими, четырьмя взятыми на них точками и двумя коэффициентами $\lambda ,\,\mu$.

1. [См., напр., Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. МЦНМО, 2002. Задача 3.1. ]