Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/368

ПРИШ&ЧАНІЯ. 367 При одномъ взгляд* на эти формулы заьгЬчаемъ, что каж- каждом касательной плоскости первой поверхности соответ- соответствуешь точка второй, и что, если касательцыя плоскости прЬходятъ черезъ одну точку, то соответственный имъ точки лежать въ одной плоскости. Дествительно, касательная плоскость въ точке х, у7 z первой поверхности определяется величинами ея координатъ в двухъ дифференщальныхъ кооффищентовъ р и q. Этими же величинами определяется и положеше точки х', у , z\ соответствующей этой касательный плоскости. ДалФе, если касательная плоскость, уравнеше которой есть Z — Z=p (x—X) + q {у—У), проходитъ черезъ точку а, |3, у, то между коордитами х, у, z7 точки прикосновешя будемъ иметь соотношеше я —у =р (% — *)+q (у — $). Вставляя въ это уравнеше выражешя х: у, z черезъ х', у', z\ р\ q\ получимъ уравнеше плоскости, какъ и следовало показать. Взаимныя поверхности Монжа можно, на основанш этого, разсматривать, какъ преобразуемыя одна въ другую при по- помощи начала двойственности. И действительно, эти поверх- поверхности суть ничто иное, какъ взаимныя поляры относитель- относительно парабалоида вращетя, уравнеше котораго есть Это геометрическое построеше поверхностей Монжа по- казываетъ, что они представляютъ только частный случай целаго класса взаимныхъ поверхностей, которыя также мо- гутъ быть выражены аналитически и которыя съ геометри- геометрической точки зрешя суть взаимныя поляры по отношенио къ какой-либо поверхности втораго порядка.