Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/14

‎гдѣ $f(u)$ многочленъ, соотвѣтствующій первичной формѣ наинисшей степени, $H(u)$—его гессіанъ, $T(u)$—функціональный опредѣлитель отъ $f(u)$ и $H(u)$, функція $R(u)$—нѣкоторая раціональная функція перемѣннаго $z$, а показатели $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda$ суть цѣлыя числа, которыя равны индексамъ или половинамъ индексовъ первичныхъ функцій $f(u)$, $H(u)$, $T(u)$. Уравненіе (A) есть уравненіе втораго изъ указанныхъ выше классовъ. При моемъ способѣ изложенія видъ его съ самаго начала опредѣленъ и остается найти функцію $f(u)$ и показатели $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda$, ибо функція $R(u)$ совершенно произвольна.

Найдя уравненіе (A), я показываю, что корни уравненія перваго изъ двухъ изучаемыхъ классовъ выражаются, какъ явныя функціи корней уравненія (A).

Этимъ самымъ теорія уравненій перваго изъ двухъ классовъ приведена къ теоріи уравненій втораго класса и только впослѣдствіи приходится вернуться къ нимъ, чтобы найти внѣшній видъ этихъ уравненій.

Въ [[../../Глава II/ДО|главѣ II]] я излагаю свойства уравненій вида (A), т.-е. уравненій втораго изъ двухъ изучаемыхъ мною классовъ. Свойства этихъ уравненій изложены въ работахъ Шварца и Клейна, но вслѣдствіе особенностей моего изслѣдованія, мнѣ удалось упростить изложеніе этой главы. Доказавъ, слѣдуя Клейну, что всякое уравненіе вида (A) разрѣшимо въ гипергеометричаскихъ функціяхъ, я тѣмъ самымъ доказываю, что всѣ уравненія перваго класса тоже разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Такъ какъ корни уравненія (A) могутъ быть представлены, въ видѣ функцій Шварца отъ аргумента ${\frac {1}{c}}R(z)$, то необходимо было разсмотрѣть довольно подробно свойства этихъ функцій.

[[../../Глава III/ДО|Глава III]] содержитъ въ себѣ изложеніе свойствъ функцій Шварца:

$s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\ {\frac {1}{\lambda }},\ {\frac {1}{\lambda _{2}}},\ z\right).$

Тот же текст в современной орфографии

‎где $f(u)$ многочлен, соответствующий первичной форме наинисшей степени, $H(u)$ — его гессиан, $T(u)$ — функциональный определитель от $f(u)$ и $H(u)$, функция $R(u)$ — некоторая рациональная функция переменного $z$, а показатели $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda$ суть целые числа, которые равны индексам или половинам индексов первичных функций $f(u)$, $H(u)$, $T(u)$. Уравнение (A) есть уравнение второго из указанных выше классов. При моем способе изложения вид его с самого начала определен и остается найти функцию $f(u)$ и показатели $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda$, ибо функция $R(u)$ совершенно произвольна.

Найдя уравнение (A), я показываю, что корни уравнения первого из двух изучаемых классов выражаются, как явные функции корней уравнения (A).

Этим самым теория уравнений первого из двух классов приведена к теории уравнений второго класса и только впоследствии приходится вернуться к ним, чтобы найти внешний вид этих уравнений.

В главе II я излагаю свойства уравнений вида (A), т. е. уравнений второго из двух изучаемых мною классов. Свойства этих уравнений изложены в работах Шварца и Клейна, но вследствие особенностей моего исследования, мне удалось упростить изложение этой главы. Доказав, следуя Клейну, что всякое уравнение вида (A) разрешимо в гипергеометричаских функциях, я тем самым доказываю, что все уравнения первого класса тоже разрешимы в гипергеометрических функциях.

Так как корни уравнения (A) могут быть представлены, в виде функций Шварца от аргумента ${\frac {1}{c}}R(z)$, то необходимо было рассмотреть довольно подробно свойства этих функций.

Глава III содержит в себе изложение свойств функций Шварца:

$s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\ {\frac {1}{\lambda }},\ {\frac {1}{\lambda _{2}}},\ z\right).$