Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/159

$\left.{\begin{array}{l}\quad \quad \quad S_{\text{о}}^{k}(u)=i^{k}u,\\\quad \quad \quad S_{\text{о}}^{k}(u){\mathfrak {T}}_{\text{о}}S_{\text{о}}^{h}(u)=i^{k}{\dfrac {1-i^{h}u}{1+i^{h}u}},\\\quad \quad \quad S_{\text{о}}^{k}(u)U_{\text{о}}(u)={\dfrac {i^{k}}{u}},\\{\text{гдѣ:}}\\\quad \quad \quad k,\;h=0,\;1,\;2,\;3.\end{array}}\right\}$

(46)

‎Соотвѣтствіе между подстановками группы и четыреугольниками сѣти указано на самомъ черт. 29. Изъ черт. 29 видно, что подстановка $U_{\text{о}}$ выражается черезъ основныя подстановки $S_{\text{о}}$ и ${\mathfrak {T}}_{\text{о}}$ формулою:

$U_{\text{о}}={\mathfrak {T}}_{\text{о}}S_{\text{о}}^{2}{\mathfrak {T}}_{\text{о}},$

(47)

‎въ чемъ легко убѣдиться и непосредственною повѣркою. Изъ черт. 29, между прочимъ, видно, что подстановка $S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}$ соотвѣтствуетъ повороту сферы на уголъ ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, одинъ изъ полюсовъ которой проэктируется въ точку $c$. Слѣдовательно $S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}$ есть эллиптическая подстановка 3-го порядка:

$S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}=1.$

(48)

‎Сравнивая октаэдрическую группу (46) съ тетраэдрической группой (38), мы замѣчаемъ, что основныя подстановки тетраэдрической группы входятъ въ октаэдрическую:

$S_{\text{т}}=S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}=S_{\text{о}}^{2}.$

(49)

‎Чтобы изъ тетраэдрической группы получить октаэдрическую, мы должны присоединить къ подстановкамъ тетраэдрической группы комбинаціи этихъ подстановокъ съ октаэдрической подстановкой $S_{\text{о}}$. Преобразуя тетраэдрическую группу подстановкою $S_{\text{о}}$, мы опять получаемъ ту же тетраэдрическую группу. Слѣдовательно тетраэдрическая группа есть особая часть октаэдрической. Отношеніе порядковъ этихъ группъ (показатель сложности) равно 2.

Тот же текст в современной орфографии

$\left.{\begin{array}{l}\quad \quad \quad S_{\text{о}}^{k}(u)=i^{k}u,\\\quad \quad \quad S_{\text{о}}^{k}(u){\mathfrak {T}}_{\text{о}}S_{\text{о}}^{h}(u)=i^{k}{\dfrac {1-i^{h}u}{1+i^{h}u}},\\\quad \quad \quad S_{\text{о}}^{k}(u)U_{\text{о}}(u)={\dfrac {i^{k}}{u}},\\{\text{где:}}\\\quad \quad \quad k,\;h=0,\;1,\;2,\;3.\end{array}}\right\}$

(46)

‎Соответствие между подстановками группы и четырехугольниками сети указано на самом черт. 29. Из черт. 29 видно, что подстановка $U_{\text{о}}$ выражается через основные подстановки $S_{\text{о}}$ и ${\mathfrak {T}}_{\text{о}}$ формулой:

$U_{\text{о}}={\mathfrak {T}}_{\text{о}}S_{\text{о}}^{2}{\mathfrak {T}}_{\text{о}},$

(47)

‎в чем легко убедиться и непосредственной поверкой. Из черт. 29, между прочим, видно, что подстановка $S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}$ соответствует повороту сферы на угол ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, один из полюсов которой проектируется в точку $c$. Следовательно $S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}$ есть эллиптическая подстановка 3-го порядка:

$S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}=1.$

(48)

‎Сравнивая октаэдрическую группу (46) с тетраэдрической группой (38), мы замечаем, что основные подстановки тетраэдрической группы входят в октаэдрическую:

$S_{\text{т}}=S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}=S_{\text{о}}^{2}.$

(49)

‎Чтобы из тетраэдрической группы получить октаэдрическую, мы должны присоединить к подстановкам тетраэдрической группы комбинации этих подстановок с октаэдрической подстановкой $S_{\text{о}}$. Преобразуя тетраэдрическую группу подстановкой $S_{\text{о}}$, мы опять получаем ту же тетраэдрическую группу. Следовательно тетраэдрическая группа есть особая часть октаэдрической. Отношение порядков этих групп (показатель сложности) равно 2.