1) Примѣняю критерій съ цѣлью узнать, принадлежитъ ли данное намъ алгебраическое уравненіе къ числу уравненій изучаемаго класса и вмѣстѣ съ тѣмъ привожу къ виду (A), если оно оказывается принадлежащимъ къ этому классу. Этотъ критерій найденъ мною и основанъ на теоремѣ Гордана, изложенной въ [[../../Глава VI/ДО|предшествующей главѣ]].
2) Привожу уравненіе вида (A) къ нормальному виду. На такое приведеніе къ нормальному виду есть указаніе у Клейна.
3) Рѣшаю уравненіе вида (A), приведенное къ нормальной формѣ.
Корни уравненія (A) типовъ: двупирамиднаго, тетраэдрическаго и октаэдрическаго могутъ быть выражены въ радикалахъ. Этотъ способъ рѣшенія найденъ Клейномъ; онъ основанъ на тѣхъ соотношеніяхъ, которыя приведены у меня въ [[../../Глава VI/ДО|главѣ VI]]. Икосаэдрическое уравненіе оказывается не разрѣшимымъ въ радикалахъ.
Уравненія всѣхъ типовъ разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ. Эти рѣшенія приведены мною въ явной формѣ. Подобныя Рѣшенія приведены у Клейна и у Пухта[1]; но они представлены тамъ въ иной формѣ и основаны на иныхъ соображеніяхъ.
Этимъ заканчивается изученіе уравненій вида (A).
Въ [[../../Глава VIII/ДО|VIII главѣ]] я возвращаюсь къ уравненіямъ того класса, которому посвящена [[../../Глава I/ДО|глава I]] съ тѣмъ, чтобы найти внѣшній видъ этихъ уравненій. Эти уравненія получаются изъ уравненій вида (A) нѣкоторыми ирраціональными преобразованіями. Степени этихъ уравненій весьма высоки и коэффиціенты сложны, вслѣдствіе чего они представляютъ интересъ гораздо меньшій, чѣмъ уравненія вида (A). Способъ вычисленія коэффиціентовъ этихъ уравненій указанъ во второмъ мемуарѣ Фукса.
Окончивъ такимъ образомъ изученіе двухъ отдѣльныхъ классовъ уравненій, я приступаю въ [[../../Глава IX/ДО|главѣ IX]] къ постановкѣ
- ↑ Puchta. Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. Denkschrift der Kaiserlichen Akademie in Wien.
1) Применяю критерий с целью узнать, принадлежит ли данное нам алгебраическое уравнение к числу уравнений изучаемого класса и вместе с тем привожу к виду (A), если оно оказывается принадлежащим к этому классу. Этот критерий найден мною и основан на теореме Гордана, изложенной в предшествующей главе.
2) Привожу уравнение вида (A) к нормальному виду. На такое приведение к нормальному виду есть указание у Клейна.
3) Решаю уравнение вида (A), приведенное к нормальной форме.
Корни уравнения (A) типов: двупирамидного, тетраэдрического и октаэдрического — могут быть выражены в радикалах. Этот способ решения найден Клейном; он основан на тех соотношениях, которые приведены у меня в главе VI. Икосаэдрическое уравнение оказывается не разрешимым в радикалах.
Уравнения всех типов разрешимы в гипергеометрических функциях. Эти решения приведены мною в явной форме. Подобные Решения приведены у Клейна и у Пухты[1]; но они представлены там в иной форме и основаны на иных соображениях.
Этим заканчивается изучение уравнений вида (A).
В VIII главе я возвращаюсь к уравнениям того класса, которому посвящена глава I с тем, чтобы найти внешний вид этих уравнений. Эти уравнения получаются из уравнений вида (A) некоторыми иррациональными преобразованиями. Степени этих уравнений весьма высоки и коэффициенты сложны, вследствие чего они представляют интерес гораздо меньший, чем уравнения вида (A). Способ вычисления коэффициентов этих уравнений указан во втором мемуаре Фукса.
Окончив таким образом изучение двух отдельных классов уравнений, я приступаю в главе IX к постановке
