Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/164

$-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}=\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3},$ гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}},$

‎то изъ уравненія (53), находимъ:

$u'={\frac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}}.$

(54)

‎Искомая подстановка ${\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)$ выражается такъ:

${\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)={\frac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}}.$

(55)

‎Основныя подстановки 1-ой нормальной икосаэдрической группы суть:

$\left.{\begin{array}{l}S_{\text{и}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)={\dfrac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}},\\{\text{гдѣ }}\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.\end{array}}\right\}$

(56)

‎Первая изъ нихъ 5-го, а вторая—2-го порядка.

Обратимъ вниманіе на одну очень простую неосновную подстановку $U_{\text{и}}$, преобразующую треугольникъ $0bc$ въ эквивалентный ему треугольникъ $\infty kl$. Соотвѣтственныя вершины этихъ треугольниковъ суть: 0 и $\infty$, $b$ и $k$, $c$ и $l$. Разсужденіями, подобными приведеннымъ въ § 16, находимъ, что искомая подстановка $U_{\text{и}}$ выражается такъ:

$U_{\text{и}}(u)=-{\frac {1}{u}}.$

(57)

‎Вся совокупность 60 подстановокъ первой нормальной икосаэдрической группы исчерпывается формулами:

Тот же текст в современной орфографии

$-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}=\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3},$ где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}},$

‎то из уравнения (53), находим:

$u'={\frac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}}.$

(54)

‎Искомая подстановка ${\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)$ выражается так:

${\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)={\frac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}}.$

(55)

‎Основные подстановки 1-ой нормальной икосаэдрической группы суть:

$\left.{\begin{array}{l}S_{\text{и}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)={\dfrac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}},\\{\text{где }}\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.\end{array}}\right\}$

(56)

‎Первая из них 5-го, а вторая — 2-го порядка.

Обратим внимание на одну очень простую неосновную подстановку $U_{\text{и}}$, преобразующую треугольник $0bc$ в эквивалентный ему треугольник $\infty kl$. Соответственные вершины этих треугольников суть: 0 и $\infty$, $b$ и $k$, $c$ и $l$. Рассуждениями, подобными приведенным в § 16, находим, что искомая подстановка $U_{\text{и}}$ выражается так:

$U_{\text{и}}(u)=-{\frac {1}{u}}.$

(57)

‎Вся совокупность 60 подстановок первой нормальной икосаэдрической группы исчерпывается формулами: