Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/166

Выше мы видѣли, что положеніе икосаэдра не мѣняется отъ поворотовъ, не мѣняющихъ положенія соотвѣтствующаго ему тетраэдра. Отсюда слѣдуетъ, что въ первую нормальную икосаэдрическую группу входитъ третья нормальная тетраэдрическая группа, а во вторую нормальную икосаэдрическую группу входитъ первая нормальная тетраэдрическая группа.

Тетраэдрическая группа, входящая въ икосаэдрическую, не составляетъ собой части ея. Въ этомъ кроется существенное различіе икосаэдрической группы отъ остальныхъ разсмотрѣнныхъ нами группъ. Въ [[../../Глава VII/ДО|главѣ VII]] мы увидимъ, что вслѣдствіе сказанной особенности икосаэдрической группы, икосаэдрическое уравненіе не разрѣшимо въ радикалахъ.

§ 19. Циклическая группа конечнаго порядка.

Циклическая группа состоитъ изъ степеней одной и той же подстановки:

$S^{0},\;S^{1},\;S^{2},\;S^{3},\;\ldots$

(61)

‎Она можетъ быть конечнаго порядка только тогда, когда подстановка $S$ есть эллиптическая подстановка конечнаго порядка. Порядокъ группы (61) равенъ порядку подстановки $S$.

Возьмемъ сначала эллиптическую подстановку конечнаго порядка $m$ въ нормальной формѣ:

$S'(u)=e^{\frac {2h\pi i}{m}}u,$

(62)

‎гдѣ $k$ и $m$ числа взаимно простыя.

Взявъ наименьшій положительный корень $\alpha$ сравненія:

$h\alpha \equiv 1({\text{мод.}}m),$

(63)

‎мы найдемъ:

$S'^{\,\alpha }(u)=e^{\frac {2\pi i}{m}}u.$

(64)

‎Итакъ, въ разсматриваемую циклическую группу входитъ подстановка:

$S(u)=e^{\frac {2\pi i}{m}}u,$

(65)

Тот же текст в современной орфографии

Выше мы видели, что положение икосаэдра не меняется от поворотов, не меняющих положения соответствующего ему тетраэдра. Отсюда следует, что в первую нормальную икосаэдрическую группу входит третья нормальная тетраэдрическая группа, а во вторую нормальную икосаэдрическую группу входит первая нормальная тетраэдрическая группа.

Тетраэдрическая группа, входящая в икосаэдрическую, не составляет собой части ее. В этом кроется существенное различие икосаэдрической группы от остальных рассмотренных нами групп. В главе VII мы увидим, что вследствие сказанной особенности икосаэдрической группы, икосаэдрическое уравнение неразрешимо в радикалах.

§ 19. Циклическая группа конечного порядка.

Циклическая группа состоит из степеней одной и той же подстановки:

$S^{0},\;S^{1},\;S^{2},\;S^{3},\;\ldots$

(61)

‎Она может быть конечного порядка только тогда, когда подстановка $S$ есть эллиптическая подстановка конечного порядка. Порядок группы (61) равен порядку подстановки $S$.

Возьмем сначала эллиптическую подстановку конечного порядка $m$ в нормальной форме:

$S'(u)=e^{\frac {2h\pi i}{m}}u,$

(62)

‎где $k$ и $m$ — числа взаимно простые.

Взяв наименьший положительный корень $\alpha$ сравнения:

$h\alpha \equiv 1{\pmod {m}},$

(63)

‎мы найдем:

$S'^{\,\alpha }(u)=e^{\frac {2\pi i}{m}}u.$

(64)

‎Итак, в рассматриваемую циклическую группу входит подстановка:

$S(u)=e^{\frac {2\pi i}{m}}u,$

(65)