Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/174

имѣетъ группу неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ, соотвѣтствующую группѣ бинарныхъ линейныхъ подстановокъ уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq20|20]]).

Ясно, что степень $N$ уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq95|95]]) можетъ равняться степени $n$ уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq20|20]]) только въ томъ случаѣ, когда двѣ названныя группы изоморфны, а это возможно только для двупирамидной группы, степень которой есть число вида:

$2m=2(2p+1).$

‎Итакъ, для типовъ: тетраэдрическаго, октаэдрическаго и икосаэдрическаго степень $n$ уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq20|20]]) вдвое выше степени $N$ уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq95|95]]):

$n=2N.$

‎Отсюда слѣдуетъ, что въ формулахъ ([[../../Глава I/ДО#Eq106|106]]) и ([[../../Глава I/ДО#Eq107|107]]) [[../../Глава I/ДО|главы I]] радикалъ не можетъ быть извлеченъ точно изъ подкоренныхъ выраженій; корни уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq20|20]]) попарно разнятся знаками.

Посмотримъ, каковы группы уравненій ([[../../Глава I/ДО#Eq20|20]]) [[../../Глава I/ДО|главы I]] для каждаго изъ 4 типовъ.

Это суть группы бинарныхъ подстановокъ съ опредѣлителемъ 1, соотвѣтствующія группамъ неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ, найденнымъ въ настоящей главѣ.

Имѣя неоднородную подстановку

${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }},$

‎легко найти соотвѣтствующія ей бинарныя подстановки съ опредѣлителемъ 1. Это суть подстановки вида:

${\begin{pmatrix}\rho \alpha ,&\rho \beta \\\rho \gamma ,&\rho \delta \end{pmatrix}},$

‎гдѣ $\rho$ есть величина, опредѣляемая условіемъ:

$\rho ^{2}(\alpha \delta -\beta \gamma )=1.$

‎Ясно, что $\rho$ имѣетъ два значенія, разнящихся знаками.

Тот же текст в современной орфографии

имеет группу неоднородных линейных подстановок, соответствующую группе бинарных линейных подстановок уравнения (20).

Ясно, что степень $N$ уравнения (95) может равняться степени $n$ уравнения (20) только в том случае, когда две названные группы изоморфны, а это возможно только для двупирамидной группы, степень которой есть число вида:

$2m=2(2p+1).$

‎Итак, для типов: тетраэдрического, октаэдрического и икосаэдрического степень $n$ уравнения (20) вдвое выше степени $N$ уравнения (95):

$n=2N.$

‎Отсюда следует, что в формулах (106) и (107) главы I радикал не может быть извлечен точно из подкоренных выражений; корни уравнения (20) попарно разнятся знаками.

Посмотрим, каковы группы уравнений (20) главы I для каждого из 4 типов.

Это суть группы бинарных подстановок с определителем 1, соответствующие группам неоднородных линейных подстановок, найденным в настоящей главе.

Имея неоднородную подстановку

${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }},$

‎легко найти соответствующие ей бинарные подстановки с определителем 1. Это суть подстановки вида:

${\begin{pmatrix}\rho \alpha ,&\rho \beta \\\rho \gamma ,&\rho \delta \end{pmatrix}},$

‎где $\rho$ есть величина, определяемая условием:

$\rho ^{2}(\alpha \delta -\beta \gamma )=1.$

‎Ясно, что $\rho$ имеет два значения, разнящихся знаками.