Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/30

ляющихъ уравненій вида (24) для всѣхъ особыхъ точекъ были раціональны.

Теорема 6. Опредѣлитель, составленный изъ коэффиціентовъ обхода около какой либо критической точки для двухъ частныхъ интеграловъ уравненія (21),—равенъ единицѣ.

На основаніи извѣстной теоремы Ліувилля между двумя частными интегралами $y_{1}$ и $y_{2}$ уравненія (2) существуетъ такая зависимость:

$y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},$

(25)

‎гдѣ $C$ есть нѣкоторое постоянное число. Примѣняя эту теорему къ уравненію (21), находимъ:

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}=C.$

(26)

‎Будемъ разсматривать $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$, какъ функціи на плоскости комплекснаго перемѣннаго. При обходахъ около критическихъ точекъ функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ будутъ развѣтвляться и принимать новыя значенія. Пусть послѣ нѣкотораго обхода функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ приняли новыя значенія ${\bar {\eta }}_{1}$ и ${\bar {\eta }}_{2}$. Если отношеніе ${\frac {{\bar {\eta }}_{1}}{{\bar {\eta }}_{2}}}$ не есть постоянная величина, то ${\bar {\eta }}_{1}$ и ${\bar {\eta }}_{2}$ выразятся, какъ линейныя функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}\right\}$[1]

(27)

‎при чемъ опредѣлитель $\alpha \delta -\beta \gamma$ отличенъ отъ 0.

Выраженіе:

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}},$

1. Величины $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ называются коэффиціентами обхода.

Тот же текст в современной орфографии

ляющих уравнений вида (24) для всех особых точек были рациональны.

Теорема 6. Определитель, составленный из коэффициентов обхода около какой-либо критической точки для двух частных интегралов уравнения (21), равен единице.

На основании известной теоремы Лиувилля между двумя частными интегралами $y_{1}$ и $y_{2}$ уравнения (2) существует такая зависимость:

$y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},$

(25)

‎где $C$ есть некоторое постоянное число. Применяя эту теорему к уравнению (21), находим:

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}=C.$

(26)

‎Будем рассматривать $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ как функции на плоскости комплексного переменного. При обходах около критических точек функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ будут разветвляться и принимать новые значения. Пусть после некоторого обхода функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ приняли новые значения ${\bar {\eta }}_{1}$ и ${\bar {\eta }}_{2}$. Если отношение ${\frac {{\bar {\eta }}_{1}}{{\bar {\eta }}_{2}}}$ не есть постоянная величина, то ${\bar {\eta }}_{1}$ и ${\bar {\eta }}_{2}$ выразятся как линейные функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=\alpha \eta _{1}+\beta \eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\gamma \eta _{1}+\delta \eta _{2},\end{matrix}}\right\}$[1]

(27)

‎причем определитель $\alpha \delta -\beta \gamma$ отличен от 0.

Выражение:

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}},$

1. Величины $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ называются коэффициентами обхода.