Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/35

§ 2. Первичныя формы.

Возьмемъ снова алгебраическое уравненіе $n$-ой степени:

$F(\eta ,\ z)=0,$

(20)

‎корни котораго суть частные интегралы уравненія

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta .$

(21)

‎Пусть

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{n}$

(34)

‎суть корни уравненія (20). Нѣкоторыя изъ этихъ величинъ разнятся между собою лишь постояннымъ множителемъ, который въ такомъ случаѣ есть корень нѣкоторой степени изъ 1. Отбросимъ въ рядѣ (34) всѣ тѣ величины, которыя разнятся отъ одной изъ остальныхъ лишь постояннымъ множителемъ. Въ оставшемся рядѣ корней:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu }$

(35)

‎не будетъ ни одной пары величинъ, отношеніе которыхъ было бы постоянно. Систему (35) будемъ называть приведенной системой корней уравненія (20). Всѣ остальные корни уравненія (20) будутъ разниться отъ корней приведенной системы (34) присутствіемъ множителей вида $j^{\alpha }$, гдѣ $j$ первообразный корень изъ 1 нѣкоторой степени $\mu$. Это число $\mu$ есть дѣлитель степени уравненія $n$, а $\alpha$ нѣкоторое цѣлое число. На основаніи вида уравненія (7) мы можемъ утверждать, что уравненіе (20) будетъ такого вида:

$A_{0}\eta ^{n}+A_{\mu }\eta ^{n-\mu }+A_{2\mu }\eta ^{n-2\mu }+\ldots +A_{n-\mu }\eta ^{\mu }+A_{n}=0.$

(36)

‎Мы видимъ, что если уравненію (36) удовлетворяетъ количество $\eta _{1}$, то ему, необходимо, удовлетворитъ и весь рядъ количествъ:

$\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{1}.$

(37)

Тот же текст в современной орфографии

§ 2. Первичные формы.

Возьмем снова алгебраическое уравнение $n$-ой степени:

$F(\eta ,\ z)=0,$

(20)

‎корни которого суть частные интегралы уравнения

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta .$

(21)

‎Пусть

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{n}$

(34)

‎суть корни уравнения (20). Некоторые из этих величин разнятся между собой лишь постоянным множителем, который в таком случае есть корень некоторой степени из 1. Отбросим в ряде (34) все те величины, которые разнятся от одной из остальных лишь постоянным множителем. В оставшемся ряде корней:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu }$

(35)

‎не будет ни одной пары величин, отношение которых было бы постоянно. Систему (35) будем называть приведенной системой корней уравнения (20). Все остальные корни уравнения (20) будут разниться от корней приведенной системы (34) присутствием множителей вида $j^{\alpha }$, где $j$ — первообразный корень из 1 некоторой степени $\mu$. Это число $\mu$ есть делитель степени уравнения $n$, а $\alpha$ — некоторое целое число. На основании вида уравнения (7) мы можем утверждать, что уравнение (20) будет такого вида:

$A_{0}\eta ^{n}+A_{\mu }\eta ^{n-\mu }+A_{2\mu }\eta ^{n-2\mu }+\ldots +A_{n-\mu }\eta ^{\mu }+A_{n}=0.$

(36)

‎Мы видим, что если уравнению (36) удовлетворяет количество $\eta _{1}$, то ему, необходимо, удовлетворит и весь ряд количеств:

$\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{\mu -1}\eta _{1}.$

(37)