Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/39

Выдѣлимъ въ формѣ $\omega (\eta ',\ \eta '')$ линейный множитель:

$c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$:

$\omega (\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '').$

(45)

‎Совершимъ такой обходъ на плоскости перемѣннаго $z$, чтобы частный интегралъ:

$\eta _{1}=c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$

(46)

‎перешелъ въ частный интегралъ:

$\eta _{i}=c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''.$

(47)

‎Такъ какъ $\eta _{1}$ и $\eta _{i}$ суть корни одного и того же неприводимаго уравненія (20), то такой обходъ существуетъ.

Пусть послѣ этого обхода функція $\omega (\eta ',\ \eta '')$ перешла въ ${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')$, а функція $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ въ ${\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '')$:

${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''){\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '')$

(48)

‎Такъ какъ $\omega (\eta ',\ \eta '')$ есть радикалъ изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$, то послѣ сдѣланнаго обхода она могла пріобрѣсти лишь нѣкоторый постоянный множитель $c$:

${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')=c.\omega (\eta ',\ \eta '').$

(49)

‎Принявъ во вниманіе формулы (49) и (45), мы можемъ представить равенство (48) въ такомъ видѣ:

$c.(c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''){\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '').$

(50)

‎Равенство это должно быть тождествомъ п. ч. иначе изъ него можно было бы опредѣлить отношеніе ${\frac {\eta '}{\eta ''}}$, и это отношеніе оказалось бы постояннымъ. Тождество (50) показываетъ, что форма $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ должна нацѣло раздѣлиться на $c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''$, т. е. на всякій линейный множитель формы (41), кромѣ $c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$. Если такъ, то форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$ дѣлится нацѣло на всякій линейный множитель формы $\Omega (\eta ',\ \eta '')$, а слѣдовательно, и на самую форму $\Omega (\eta ',\ \eta '')$.

Тот же текст в современной орфографии

Выделим в форме $\omega (\eta ',\ \eta '')$ линейный множитель:

$c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$:

$\omega (\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '').$

(45)

‎Совершим такой обход на плоскости переменной $z$, чтобы частный интеграл:

$\eta _{1}=c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$

(46)

‎перешел в частный интеграл:

$\eta _{i}=c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''.$

(47)

‎Так как $\eta _{1}$ и $\eta _{i}$ суть корни одного и того же неприводимого уравнения (20), то такой обход существует.

Пусть после этого обхода функция $\omega (\eta ',\ \eta '')$ перешла в ${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')$, а функция $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ — в ${\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '')$:

${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''){\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '')$

(48)

‎Так как $\omega (\eta ',\ \eta '')$ есть радикал из рациональной функции переменной $z$, то после сделанного обхода она могла приобрести лишь некоторый постоянный множитель $c$:

${\bar {\omega }}(\eta ',\ \eta '')=c\cdot \omega (\eta ',\ \eta '').$

(49)

‎Приняв во внимание формулы (49) и (45), мы можем представить равенство (48) в таком виде:

$c\cdot (c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta '')\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')=(c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''){\bar {\omega }}_{1}(\eta ',\ \eta '').$

(50)

‎Равенство это должно быть тождеством, п. ч. иначе из него можно было бы определить отношение ${\frac {\eta '}{\eta ''}}$, и это отношение оказалось бы постоянным. Тождество (50) показывает, что форма $\omega _{1}(\eta ',\ \eta '')$ должна нацело разделиться на $c_{1}^{(i)}\eta '+c_{2}^{(i)}\eta ''$, т. е. на всякий линейный множитель формы (41), кроме $c_{1}^{(1)}\eta '+c_{2}^{(1)}\eta ''$. Если так, то форма $\omega (\eta ',\ \eta '')$ делится нацело на всякий линейный множитель формы $\Omega (\eta ',\ \eta '')$, а следовательно, и на саму форму $\Omega (\eta ',\ \eta '')$.