Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/44

формѣ, нѣтъ ни одной пары корней, отношеніе которыхъ было бы постоянно. Степень такой формы равна $n$.

Докажемъ, что для дифференціальнаго уравненія (21) можно составить первичную форму степени ниже $n$.

Пусть

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{i}\ldots ,\ \alpha _{\rho }$

‎суть особыя точки интеграловъ уравненія (21).

Непремѣнно нѣкоторыя изъ этихъ точекъ будутъ точками критическими, потому что интегралы уравненія (21) суть функціи многозначныя.

Пусть $\alpha _{i}$ есть критическая точка.

Мы знаемъ, что существуютъ два интеграла уравненія (21), которые въ области точки $\alpha _{i}$ разлагаются въ ряды такого вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$[1]

(68)

‎гдѣ $r_{1}$ и $r_{2}$ суть корни Фуксова опредѣляющаго уравненія:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Корни уравненія (24) раціональны и по крайней мѣрѣ одинъ изъ нихъ есть число дробное: иначе точка $\alpha _{i}$ не была бы критическою точкою ни для одного изъ интеграловъ уравненія (21).

Пусть $r_{1}$ число дробное.

Составимъ то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяетъ функція:

$\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}).$

(69)

‎Для этого мы должны найти всѣ значенія, пріобрѣтаемыя функціею $\eta _{1}$ при всевозможныхъ обходахъ на плоскости перемѣннаго $z$.

1. Въ § 1 это было доказано для уравненія (2). Уравненіе (21) есть простѣйшій частный случай уравненія (2).

Тот же текст в современной орфографии

форме, нет ни одной пары корней, отношение которых было бы постоянно. Степень такой формы равна $n$.

Докажем, что для дифференциального уравнения (21) можно составить первичную форму степени ниже $n$.

Пусть

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{i}\ldots ,\ \alpha _{\rho }$

‎суть особые точки интегралов уравнения (21).

Непременно некоторые из этих точек будут точками критическими, потому что интегралы уравнения (21) суть функции многозначные.

Пусть $\alpha _{i}$ есть критическая точка.

Мы знаем, что существуют два интеграла уравнения (21), которые в области точки $\alpha _{i}$ разлагаются в ряды такого вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$[1]

(68)

‎где $r_{1}$ и $r_{2}$ суть корни Фуксова определяющего уравнения:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Корни уравнения (24) рациональны и по крайней мере один из них есть число дробное: иначе точка $\alpha _{i}$ не была бы критической точкой ни для одного из интегралов уравнения (21).

Пусть $r_{1}$ число дробное.

Составим то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяет функция:

$\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}).$

(69)

‎Для этого мы должны найти все значения, приобретаемые функцией $\eta _{1}$ при всевозможных обходах на плоскости переменной $z$.

1. В § 1 это было доказано для уравнения (2). Уравнение (21) есть простейший частный случай уравнения (2).