Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/55

$f(\eta ',\ \eta '').$

‎Степень этой формы равна $\nu$, а индексъ $\mu$, при чемъ:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Гессіанъ $H(\eta ',\ \eta '')$ формы $f(\eta ',\ \eta '')$, какъ мы знаемъ, есть тоже первичная форма степени $\nu _{1}=2\nu -4$ индекса $\mu _{1}$, причемъ:

$\mu _{1}\nu _{1}=n.$

(76')

‎Составимъ выраженіе:

${\frac {H^{\mu _{1}}(\eta ',\ \eta '')}{f^{\mu }(\eta ',\ \eta '')}}.$

(91)

‎Относительно выраженія (91) можно сказать слѣдующее:

1) оно равно раціональной функціи $z$, потому что числитель и знаменатель его суть раціональныя функціи $z$:

${\frac {H^{\mu _{1}}(\eta ',\ \eta '')}{f^{\mu }(\eta ',\ \eta '')}}={\mathfrak {R}}(z);$

(92)

‎2) выраженіе (91) есть однородная функція нулевой степени относительно перемѣнныхъ $\eta '$ и $\eta ''$, потому что числитель и знаменатель его суть однородныя функціи этихъ перемѣнныхъ одинаковой степени $n$.

Положивъ снова

$u={\frac {\eta '}{\eta ''}}$

(82)

‎и введя для краткости обозначенія:

$H(u,\ 1)=H(u),\ f(u,\ 1)=f(u),$

‎мы приведемъ уравненіе (92) къ такому виду:

${\frac {H^{\mu _{1}}(u)}{f^{\mu }(u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(93)

‎Теорема доказана.

Тот же текст в современной орфографии

$f(\eta ',\ \eta '').$

‎Степень этой формы равна $\nu$, а индекс — $\mu$, причем:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Гессиан $H(\eta ',\ \eta '')$ формы $f(\eta ',\ \eta '')$, как мы знаем, есть тоже первичная форма степени $\nu _{1}=2\nu -4$ индекса $\mu _{1}$, причем:

$\mu _{1}\nu _{1}=n.$

(76')

‎Составим выражение:

${\frac {H^{\mu _{1}}(\eta ',\ \eta '')}{f^{\mu }(\eta ',\ \eta '')}}.$

(91)

‎Относительно выражения (91) можно сказать следующее:

1) оно равно рациональной функции $z$, потому что числитель и знаменатель его суть рациональные функции $z$:

${\frac {H^{\mu _{1}}(\eta ',\ \eta '')}{f^{\mu }(\eta ',\ \eta '')}}={\mathfrak {R}}(z);$

(92)

‎2) выражение (91) есть однородная функция нулевой степени относительно переменных $\eta '$ и $\eta ''$, потому что числитель и знаменатель его суть однородные функции этих переменных одинаковой степени $n$.

Положив снова

$u={\frac {\eta '}{\eta ''}}$

(82)

‎и введя для краткости обозначения:

$H(u,\ 1)=H(u),\ f(u,\ 1)=f(u),$

‎мы приведем уравнение (92) к такому виду:

${\frac {H^{\mu _{1}}(u)}{f^{\mu }(u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(93)

‎Теорема доказана.