Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/71

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2},$

‎принимая при этомъ во вниманіе, что $y'$ и $y''$ суть интегралы уравненія (1).

Выполнивъ вычисленія, находимъ:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=-2P,$

(16)

‎гдѣ по прежнему:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(17)

‎Первая часть теоремы доказана.

Если интегралы уравненія (1) алгебраическіе, то отношеніе:

$u={\frac {y'}{y''}}$

(6')

‎всякихъ двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ уравненія (1) есть корень уравненія вида (2).

Слѣдовательно корень $u$ уравненія (2) также удовлетворяетъ дифференціальному уравненію (16).

Такъ какъ всѣ корни уравненія (2) суть отношенія частныхъ интеграловъ уравненія (1), то всѣ они удовлетворяютъ дифференціальному уравненію (16).

Условимся для краткости въ такомъ обозначеніи:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=[u]_{z}.$

(18)

‎Тогда дифференціальное уравненіе (16) приметъ такой видъ:

Тот же текст в современной орфографии

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2},$

‎принимая при этом во внимание, что $y'$ и $y''$ суть интегралы уравнения (1).

Выполнив вычисления, находим:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=-2P,$

(16)

‎где по-прежнему:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(17)

‎Первая часть теоремы доказана.

Если интегралы уравнения (1) алгебраические, то отношение:

$u={\frac {y'}{y''}}$

(6')

‎всяких двух линейно независимых частных интегралов уравнения (1) есть корень уравнения вида (2).

Следовательно корень $u$ уравнения (2) также удовлетворяет дифференциальному уравнению (16).

Так как все корни уравнения (2) суть отношения частных интегралов уравнения (1), то все они удовлетворяют дифференциальному уравнению (16).

Условимся для краткости в таком обозначении:

${\frac {\dfrac {d^{3}u}{dz^{3}}}{\dfrac {du}{dz}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\dfrac {d^{2}u}{dz^{2}}}{\dfrac {du}{dz}}}\right)^{2}=[u]_{z}.$

(18)

‎Тогда дифференциальное уравнение (16) примет такой вид: