Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/75

$[u_{i}]_{z}=-2P,$ гдѣ $i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ N$;

(27)

‎а это и значитъ, что корни (9) уравненія (2') суть частные интегралы уравненія

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Теорема доказана.

Возьмемъ снова алгебраическое уравненіе:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z)$

(2)

‎и то дифференціальное уравненіе:

$[u]_{z}=-2P,$

(19)

‎которому удовлетворяютъ корни уравненія (2).

Преобразуемъ уравненіе (2), введя вмѣсто $z$ новое независимое перемѣнное $t$, связанное съ $z$ соотношеніемъ:

$R(z)=ct,$

(28)

‎гдѣ $c$—постоянный множитель, который мы оставляемъ пока произвольнымъ.

Алгебраическое уравненіе (2) приметъ видъ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=ct.$

(29)

‎Такъ какъ это уравненіе имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ—ту же самую, какъ и уравненіе (2), то на основаніи теоремы 7 мы можемъ сказать, что корни его удовлетворяютъ дифференціальному уравненію вида:

$[u]_{t}=-2p_{1},$

(30)

‎гдѣ $p$ есть нѣкоторая раціональная функція $t$.

Въ концѣ настоящей главы мы найдемъ выраженіе этой функціи, а затѣмъ, пользуясь соотношеніемъ (28), будемъ въ состояніи легко найти функцію $P$.

Теорема 8. Корни уравненія:

Тот же текст в современной орфографии

$[u_{i}]_{z}=-2P,$ где $i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ N$;

(27)

‎а это и значит, что корни (9) уравнения (2') суть частные интегралы уравнения

$[u]_{z}=-2P.$

(19)

‎Теорема доказана.

Возьмем снова алгебраическое уравнение:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z)$

(2)

‎и то дифференциальное уравнение:

$[u]_{z}=-2P,$

(19)

‎которому удовлетворяют корни уравнения (2).

Преобразуем уравнение (2), введя вместо $z$ новую независимую переменную $t$, связанную с $z$ соотношением:

$R(z)=ct,$

(28)

‎где $c$ — постоянный множитель, который мы оставляем пока произвольным.

Алгебраическое уравнение (2) примет вид:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=ct.$

(29)

‎Так как это уравнение имеет группу линейных подстановок — ту же самую, как и уравнение (2), то на основании теоремы 7 мы можем сказать, что корни его удовлетворяют дифференциальному уравнению вида:

$[u]_{t}=-2p_{1},$

(30)

‎где $p$ есть некоторая рациональная функция $t$.

В конце настоящей главы мы найдем выражение этой функции, а затем, пользуясь соотношением (28), будем в состоянии легко найти функцию $P$.

Теорема 8. Корни уравнения: