Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/78

Съ другой стороны, число всѣхъ корней уравненія (35) равно его степени $2N-2$. Слѣдовательно мы можемъ написать такое равенство:

$\sum _{i=1}^{i=\sigma }{\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1)=2N-2$

(38)

‎или:

$\sum _{i=1}^{i=\sigma }\left(1-{\frac {1}{m_{i}}}\right)=2-{\frac {2}{N}}.$

(39)

‎Такъ какъ $m_{1}$ суть цѣлыя числа не меньшія 2, а $N$ на основаніи теоремы 2 не меньше 4, то изъ неопредѣленнаго уравненія (39) видимъ, что число $\sigma$ больше 1, но меньше 4, т. е. $\sigma$ равно 2 или 3.

Обратимся снова къ уравненію (35). Подставивъ въ него вмѣсто $\varphi (u)$ и $\psi (u)$ выраженія (31) этихъ функцій, мы приведемъ уравненіе (35) къ такому виду:

$f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)\left\{\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}-\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}\right\}=0,$

(40)

‎или:

$f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u)=0,$

(41)

‎гдѣ $T(u)$ имѣетъ прежнее значеніе, опредѣляемое формулою ([[../../Глава I/ДО#Eq103|103]]) [[../../Глава I/ДО|главы I]].

Уравненіе (41) мы можемъ разбить на 3 уравненія:

$f^{\lambda -1}(u)=0,\ H^{\lambda _{1}-1}(u)=0,\ T(u)=0.$

(42)

‎Первое изъ нихъ опредѣляетъ кратные корни уравненія (29), соотвѣтствующіе критической точкѣ:

$t=\infty .$

‎Это суть $\lambda$-кратные корни уравненія (29), какъ видно и прямо изъ уравненія (29).

Тот же текст в современной орфографии

С другой стороны, число всех корней уравнения (35) равно его степени $2N-2$. Следовательно, мы можем написать такое равенство:

$\sum _{i=1}^{\sigma }{\frac {N}{m_{i}}}(m_{i}-1)=2N-2$

(38)

‎или:

$\sum _{i=1}^{\sigma }\left(1-{\frac {1}{m_{i}}}\right)=2-{\frac {2}{N}}.$

(39)

‎Так как $m_{1}$ суть целые числа, не меньшие 2, а $N$ на основании теоремы 2 не меньше 4, то из неопределенного уравнения (39) видим, что число $\sigma$ больше 1, но меньше 4, т. е. $\sigma$ равно 2 или 3.

Обратимся снова к уравнению (35). Подставив в него вместо $\varphi (u)$ и $\psi (u)$ выражения (31) этих функций, мы приведем уравнение (35) к такому виду:

$f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)\left\{\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}-\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}\right\}=0,$

(40)

‎или:

$f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u)=0,$

(41)

‎где $T(u)$ имеет прежнее значение, определяемое формулой (103) главы I.

Уравнение (41) мы можем разбить на 3 уравнения:

$f^{\lambda -1}(u)=0,\ H^{\lambda _{1}-1}(u)=0,\ T(u)=0.$

(42)

‎Первое из них определяет кратные корни уравнения (29), соответствующие критической точке:

$t=\infty .$

‎Это суть $\lambda$-кратные корни уравнения (29), как видно и прямо из уравнения (29).