Введеніе этихъ новыхъ функцій было, несомнѣнно, важной заслугой Шварца, вслѣдствіе чего онѣ и получили названіе функцій Шварца.
Функція Шварца есть многозначная функція. Значенія ея связаны между собою линейно.
Каждое значеніе функція Шварца отображаетъ какъ верхнюю, такъ и нижнюю полуплоскость независимаго перемѣннаго въ видѣ треугольника, ограниченнаго дугами круговъ. Два треугольника, соотвѣтствующіе двумъ половинамъ плоскости, между собою смежны и симметричны относительно общей стороны. Всѣ значенія функціи Шварца отображаютъ плоскость независимо перемѣннаго въ видѣ сѣти такихъ треугольниковъ. Сѣть эта можетъ покрывать собою или всю плоскость, или только часть ея. Въ послѣднемъ случаѣ сѣть заключена внутри круга конечныхъ размѣровъ и ортогональнаго ко всѣмъ дугамъ окружностей, служащимъ сторонами треугольниковъ сѣти.
Функціи, обратныя функціямъ Шварца, принадлежатъ къ числу аутоморфныхъ, т.-е. не мѣняются отъ нѣкоторой группы линейныхъ подстановокъ. Въ случаѣ, если сѣть функціи Шварца заключена внутри ортогональнаго круга, то точки этого круга всѣ служатъ существенно особыми точками соотвѣтствующей ей аутоморфиой функціи; самый кругъ служитъ естественной границей функціи, за которую никакое аналитическое продолженіе функціи невозможно. Это — фактъ, съ которымъ встрѣтился еще Эрмитъ, но онъ не могъ объяснить его потому, что онъ не зналъ этихъ геометрическихъ истолкованій, найденныхъ Шварцемъ позднѣе работъ Эрмита.
Шварцъ въ своей работѣ обнаружилъ всѣ тѣ случаи, когда его функція есть функція алгебраическая, и указалъ, что вопросъ объ этихъ случаяхъ находится въ самой тѣсной связи съ вопросомъ о дѣленіи поверхности сферы на равныя части, а этотъ послѣдній вопросъ рѣшается очень просто при посредствѣ многогранниковъ. Поэтому самыя уравненія открытыя Шварцемъ, получили названія: двупирамидное, тетраэдрическое, октаэдрическое, икосаэдрическое.
Введение этих новых функций было, несомненно, важной заслугой Шварца, вследствие чего они и получили название функций Шварца.
Функция Шварца есть многозначная функция. Значения её связаны между собой линейно.
Каждое значение функция Шварца отображает как верхнюю, так и нижнюю полуплоскость независимого переменного в виде треугольника, ограниченного дугами кругов. Два треугольника, соответствующие двум половинам плоскости, между собой смежны и симметричны относительно общей стороны. Все значения функции Шварца отображают плоскость независимо переменного в виде сети таких треугольников. Сеть эта может покрывать собой или всю плоскость, или только часть ее. В последнем случае сеть заключена внутри круга конечных размеров и ортогонального ко всем дугам окружностей, служащим сторонами треугольников сети.
Функции, обратные функциям Шварца, принадлежат к числу автоморфных, т. е. не меняются от некоторой группы линейных подстановок. В случае, если сеть функции Шварца заключена внутри ортогонального круга, то точки этого круга все служат существенно особыми точками соответствующей ей автоморфиой функции; самый круг служит естественной границей функции, за которую никакое аналитическое продолжение функции невозможно. Это — факт, с которым встретился еще Эрмит, но он не мог объяснить его потому, что он не знал этих геометрических истолкований, найденных Шварцем позднее работ Эрмита.
Шварц в своей работе обнаружил все те случаи, когда его функция есть функция алгебраическая, и указал, что вопрос об этих случаях находится в самой тесной связи с вопросом о делении поверхности сферы на равные части, а этот последний вопрос решается очень просто при посредстве многогранников. Поэтому самые уравнения открытые Шварцем, получили названия: двупирамидное, тетраэдрическое, октаэдрическое, икосаэдрическое.
