Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/9

Эти соотношения выражают, что основные кривые уникурсальные и пересекаются как между собою, так и со всеми кривыми Кремоновой сети только в основных точках.

2. Clebsch показал (Math. Annalen, Bd. 4, 1871), что детерминант

$N={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}\end{vmatrix}}$

(7.)

всегда равен $\pm n$, где $n$ — порядок данной Кремоновой сети. Мы покажем, что это предложение представляет одно из следствий одного более общего свойства Кремоновых сетей. Рассмотрим детерминант

$M_{0}={\begin{vmatrix}-n&is_{1}&is_{2}&\cdots &is_{p}\\ir_{1}&\alpha _{11}&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\ir_{2}&\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ir_{p}&\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}\end{vmatrix}}$,

(8.)

где $i{\sqrt {-1}}$. Соотношения (1), (3), (4), (5), могут быть представлены в следующем виде:

$(-n)^{2}+\sum (is_{l})^{2}=1,\quad (ir_{k})^{2}+\sum \alpha _{kl}^{2}=1,$

$n.ir_{k}+\sum is_{l}.\alpha _{kl}=0,\quad ir_{k}.ir_{k'}+\sum _{l'}\alpha _{kl'}\alpha _{kl'}=0$.

Отсюда видно, что $M_{0}$ есть детерминант прямоугольного преобразования. Так как в таком детерминанте каждый элемент равен своему дополнительному минору, умноженному на $\pm 1$, то отсюда следует не только теорема Clebsch'a, но и ряд других аналогичных соотношений между Кремоновыми числами.

Умножая в детерминанте (8) первый столбец и первую строку на $-i$, мы получим новый детерминант, не содержащий мнимых элементов

$M_{1}={\begin{vmatrix}n&s_{1}&s_{2}&\cdots &s_{p}\\r_{1}&\alpha _{11}&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\r_{2}&\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{p}&\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}\end{vmatrix}}$,

(9.)

Этот детерминант уже не ортогональный, но его числовое значение остается по-прежнему равным $\pm 1$, и его элементы точно также равны по абсолютной величине своим дополнительным минорам.

3. Как показал Cayley (Crelle, Bd. 32, 1846), элементы ортогонального детерминанта $(p+1)$-го порядка могут быть выражены рационально через ${\tfrac {p(p+1)}{2}}$ произвольных количеств. Естественно было бы искать соответствующие выражения и для детерминанта $M_{0}$. Оказывается, однако, что к детерминанту $M_{0}$ метод Cayley неприложим. Именно, Frobenius заметил, что если в положительном ортогональном детерминанте

$|c_{kl}|\quad (k,l=0,1,\dots p)$