Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/124

109 § 30 комплекса, то мы можемъ образовать сЬчеше RR' (§22,4.), если отнесемъ къ группе R все Tt числа г, который удовлетворяютъ услов|'ю re <Ц а, и къ группе R' те числа /', который удовлетворяютъ неравенству rV>rf; при этомъ число /', удовлетворяющее равенству re — а, если только такое число г существуегъ, мы можемъ но произволу отнести либо къ группе R, либо же къ rpymit, R'. Съчете R;R' определяетъ собою некоторое число а, вообще говоря, ирращ'ональное: это число а мы относимъ эле- элементу а. Мы полагаемъ при этомъ «с —д, и говоримъ, что а есть чис- число, измеряющее элементь а. Понятно, что съ измънешемъ элемента с, принятаго за единицу нашей системы измтфежя, меняется и число «. Если fte = /; есть некоторый другой элементъ той же группы, и <? <] /;, то имъетъ м-Ьсто неравенство а << [3. Итакъ, каждой парк а, с алементовъ изм-Ьримаго комплекса отвъчаетъ определенное число а, измеряющее элементъ </; эго следуетъ, согласно вышеизложенному, изъ техъ предпосылокъ, когорыя представпяюгъ собою определен1е измеримости. Обратное предложеже, что при данной едини- единице с всякому числу а соответствуем некоторый элементъ а, числен- численное значеше котораго равно числу а, еаъ новое допущеше, которое мы склонны принять въ силу некогораго рода внутренняго созерцан1я: отны- отныне мы принимаемъ эту предпосылку, которую назовемъ непрерыв- непрерывностью группы 4). Съ этой непрерывностью мы не связываемъ никакого (чувственнаго) представлешя; никакой внешшй опытъ не можетъ ни подтвердить ее, ни опровергнуть. Однако же совокупность чиселъ есть измеримый комгтлексъ, действительно обладающая свойствомъ непрерывности. 2. Теперь мы перейдемъ къ общему определежю отношенШ. Евклидъ (Элементы, книга V) даеть следующее определеше: Если а и /> суть два элемента некотораго измеримаго комплекса, а ^1 и В представляютъ собою два элемента некотораго другого или даже того же самаго измеримаго комплекса, то выберемъ два какихъ-либо числа натуральнаго ряда /// и //. Тогда имЪетъ место одно и только одно изь трехъ соотношенШ. I) та < lib, IIJ та- нЬ, Ш) та > пЬ. A) 4). Совершенно непопятно, почему автору понадобилось туманное „внутреннее созерцаше" (innere Anschauung) и новый постулатъ для введешя этого понят!я. Если мы возьмемъ нЕкоторый элементъ какой-либо измеримой группы и ирисое- дчнимъ къ нему всЕ соизмеримые сь нимъ элементы, то получимъ комплексъ, не обладающей непрерывностью. Введен!е ирращональныхъ чиселъ показываетъ, ¦по мы имЕемъ возможность построить непрерывные комплексы въ области абстракт- ныхъ объектовъ. Вопросъ же о томь, существуютъ ли реальные непрерывные ком- комплексы, какъ авторъ справедливо ук.нываетъ, экспериментально рЕшенъ быть не может ь.