Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/53

Мы видимъ такимъ образомъ, что сложенiе и вычитанiе натуральныхъ чиселъ подходятъ подъ эти опредѣленiя, какъ частные случаи. Вмѣстѣ съ тѣмъ по этимъ правиламъ любое число можетъ быть вычтено изъ другого числа; результатъ всегда представляетъ собой опредѣленное число нашего ряда.

3. Вычитанiе можетъ быть приведено къ сложенiю посредствомъ формулы

$\alpha -\beta =\alpha +(-\beta )$.

(6)

Сообразно съ этимъ вычесть нѣкоторое число равносильно тому, чтобы прибавить то же число съ обратнымъ знакомъ.

Поэтому вычитанiе такъ же, какъ и сложенiе, можетъ быть выполнено при помощи отсчитыванiя точекъ въ томъ или въ другомъ направленiи.

4. Сочетательный законъ при сложенiи. Перемѣстительный законъ при сложенiи мы уже выразили формулой (3).

Законъ сочетательный долженъ выразиться соотношенiемъ

$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )=\beta +(\alpha +\gamma )$,

(7)

гдѣ $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ суть произвольныя три числа, абсолютныя значенiя которыхъ обозначимъ черезъ $a$, $b$ и $c$. Этотъ законъ вытекаетъ изъ опредѣленiй (2) и (3). Число случаевъ, которое слѣдовало бы различать относительно знаковъ чиселъ $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, значительно уменьшается, благодаря слѣдующему обстоятельству: по конструкцiи равенствъ (7), если онѣ оказываются справедливыми при нѣкоторомъ значенiи $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то онѣ сохраняютъ свою силу и въ томъ случаѣ, если мы замѣстимъ другъ другомъ $\alpha$ и $\beta$, или $\beta$ и $\gamma$, или $\alpha$ и $\gamma$^[1], а также если мы замѣстимъ $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ черезъ $-\alpha$, $-\beta$ и $-\gamma$. Вслѣдствiе этого намъ достаточно доказать соотношенiе (7) въ томъ предположенiи, что

$a\leqslant b\leqslant c$

и что $\gamma$ есть положительное число ($\gamma =c$). При этихъ условiяхъ намъ остается разсмотрѣть только 4 случая, соотвѣтствующiе четыремъ комбинацiямъ чиселъ $\alpha$ и $\beta$. Соотвѣтственно этимъ комбинацiямъ, соотношенiя (7) принимаютъ такiя формы:

1. Числа $\alpha$ и $\beta$ положительны

$(a+b)+c=a+(b+c)=b+(a+c)$;

лютную величину; опредѣленiе это дополняется соглашенiемъ (3), которое говоритъ, что прибавить къ числу $\alpha$ число $\beta$, имѣющее меньшую абсолютную величину, означаетъ то же, что прибавить къ числу $\beta$ число $\alpha$.

1. Такъ какъ при этомъ однѣ части равенства переходятъ въ другiя.

Тот же текст в современной орфографии

Мы видим таким образом, что сложение и вычитание натуральных чисел подходят под эти определения, как частные случаи. Вместе с тем по этим правилам любое число может быть вычтено из другого числа; результат всегда представляет собой определённое число нашего ряда.

3. Вычитание может быть приведено к сложению посредством формулы

$\alpha -\beta =\alpha +(-\beta )$.

(6)

Сообразно с этим вычесть некоторое число равносильно тому, чтобы прибавить то же число с обратным знаком.

Поэтому вычитание так же, как и сложение, может быть выполнено при помощи отсчитывания точек в том или в другом направлении.

4. Сочетательный закон при сложении. Переместительный закон при сложении мы уже выразили формулой (3).

Закон сочетательный должен выразиться соотношением

$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )=\beta +(\alpha +\gamma )$,

(7)

где $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ суть произвольные три числа, абсолютные значения которых обозначим через $a$, $b$ и $c$. Этот закон вытекает из определений (2) и (3). Число случаев, которое следовало бы различать относительно знаков чисел $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, значительно уменьшается, благодаря следующему обстоятельству: по конструкции равенств (7), если они оказываются справедливыми при некотором значении $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то они сохраняют свою силу и в том случае, если мы заместим друг другом $\alpha$ и $\beta$, или $\beta$ и $\gamma$, или $\alpha$ и $\gamma$^[1], а также если мы заместим $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ через $-\alpha$, $-\beta$ и $-\gamma$. Вследствие этого нам достаточно доказать соотношение (7) в том предположении, что

$a\leqslant b\leqslant c$

и что $\gamma$ есть положительное число ($\gamma =c$). При этих условиях нам остаётся рассмотреть только 4 случая, соответствующие четырём комбинациям чисел $\alpha$ и $\beta$. Соответственно этим комбинациям, соотношения (7) принимают такие формы:

1. Числа $\alpha$ и $\beta$ положительны

$(a+b)+c=a+(b+c)=b+(a+c)$;

лютную величину; определение это дополняется соглашением (3), которое говорит, что прибавить к числу $\alpha$ число $\beta$, имеющее меньшую абсолютную величину, означает то же, что прибавить к числу $\beta$ число $\alpha$.

1. Так как при этом одни части равенства переходят в другие.