79 § 22 Это значитъ, существуетъ число а-- квадратъ котораго меньше 2, 'Л хотя само оно больше числа аА Таким ь же способомъ можно доказать, что въ rpynnt А' не суще- существует ь наименьшего числа. 5. Итакъ группамъ А и А' соотвътствуетъ рациональное cbneiiie А/А', если можно указать наибольшее число G въ пер- первой групнъ или наименьшее число а' во второй; если же ни то- того ни другого не сущее гвуетъ, то группамъ соотвътствуетъ ир- ращональное сЬчен1е Л, А'. Поэтому, если А, А' означаетъ иррашональное сЬчеше, то для лю- любого числа а можно указать друпя, болышя его, числа а той же груп- группы А, а для любого числа а' группы .. /' можно указать меныши его чи- числа а' той же группы. Въ каждомъ съчеши А.,А' существуетъ сколько угодно парь чиселъ а и а' разность которыхъ а—if меньше любого за- даннаго числа d- Для доказательства выберемъ такое натуральное число п, чтобы d- Выберем ь два такихъ цълыхь ноложительныхъ или отрицагель- ныхь числа /,¦ и ]:', чтобы число к/и было меньше нъкотораго числа а (г. е. изь группы А), а число к'/п было больше нъкотораго числа й'; подобрать таюя числа /; и к' всегда возможно. Тогда число к/ц должно быть отнесено къ группъ А., а число к'/и къ rpynnt. A'. Перебираемъ по порядку числа слъдующаго ряда: k k+i k+2 к' а' и ' п ' 1} Крайн1Й лъвый членъ принадлежитъ группъ Л, крайшй правый группЬ к к'
- /'; гдъ-нибудь между ' и — мы найдемъ такой членъ—пусть это бу-
детъ число т п который самъ еще принадлежитъ rpynnt. А, меж- между тъмь, какъ непосредственно слъдуюний относится уже къ rpynnt, . /'. Тогда имъемъ //; //Н-1 „ ~ '7> п - а> и а' а - i/n<d. Въ ирращональном ь съченш между такими двумя числами а и а' можно указать сколько угодно другихь чиселъ объихъ группъ5). Въ рацюналь- '). Иначе говоря, каково бы ни было число а первой группы [Л), всегда существуетъ большее число д -J- * , также принадлежащее первой груипЕ. 5) Такъ какъ ни въ групиЕ А нЕтъ наибольшато числа, ни въ групп* А' нЕтъ намменьшаго числа, то мы можемъ уменьшать число а и увеличивать число </'.
