БСЭ1/Ложного положения правило

Ложного положения правило
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Лилль — Маммалогия. Источник: т. XXXVII (1938): Лилль — Маммалогия, стлб. 342—343 ( РГБ )

ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ПРАВИЛО (regula falsi), один из приемов вычисления корней уравнения, сущность к-рого состоит в следующем. Пусть корень $x$, уравнения $f(x)=0$ с одним неизвестным заключается между двумя близкими числами $a$ и $b$. Подставляя в левую часть уравнения вместо $x$ значения $a$ и $b$, мы получим числа $f(a)$ и $f(b)$. Если предположить, что приращение $f(x)$ пропорционально приращению $x$, то $x_{0}$ можно будет определить из пропорции:

${\frac {x_{0}-a}{x_{0}-b}}={\frac {f(x_{0})-f(a)}{f(x_{0})-f(b)}},$

‎или, так как $f(x)=0$:

${\frac {x_{0}-a}{x_{0}-b}}={\frac {f(a)}{f(b)}},$

‎Из этой пропорции находим, что

$x_{0}=a-{\frac {f(a)\cdot (b-a)}{f(b)-f(a)}},$

Допущение пропорциональности приращения, из к-рого мы исходили, выполняется только для уравнений первой степени. Поэтому правило ложного положения дает точное значение корня лишь для уравнений первой степени. Для всех других уравнений по этому методу получаются приближенные значения корня; однако в этом случае корни можно вычислить с любой степенью точности. Поскольку $x_{0}$ есть приближенное значение корня, имеет место одно из двух: либо корень лежит между $a$ и $x_{0}$ либо между $x_{0}$ и $b$. Пусть корень заключается между $a$ и $x_{0}$, тогда, применяя Л. п. п. к числам $a$ и $x_{0}$, получим второе приближение:

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})\cdot (x_{0}-a)}{f(x_{0})-f(a)}},$

‎более близкое к корню, чем $x_{1}$. Затем подобным же образом находится третье приближение $x_{2}$ и т. д. Каждый раз при этом мы будем все ближе и ближе подходить к корню.

Л. п. п. допускает простое геометрич. истолкование. Если провести через точки $A[a,f(a)]$ и $B[b,f(b)]$ кривой $y=f(x)$ хорду $AB$, то эта хорда пересечет ось $Ox$ в точке $C$, недалеко от точки пересечения кривой с осью абсцисс (см. рис.); при этом абсцисса точки С оказывается как-раз равной

$a={\frac {f(a)\cdot (b-a)}{f(b)-f(a)}}.$

‎Указанный способ приближенного вычисления корней называется правилом ложного положения потому, что при вычислении корня исходдят из двух его приближенных значений (из двух «ложных» положений) $a,~b$. Правилом ложного положения пользовались еще в глубокой древности (см., напр., Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, М. — Л., 1932).

Л. Окунев.