Перейти к содержанию

БСЭ1/Мера

Материал из Викитеки — свободной библиотеки

МЕРА (мат.), понятие, обобщающее на точечные множества (см. Множеств теория) понятия длины отрезка, площади (см.), плоской фигуры и объема (см.) тел. Рассмотрим в виде примера плоскую М., т. е. М. точечных множеств на плоскости. При определении обыкновенных площадей мы исходим из площадей прямоугольников, определяющихся элементарно (см. Площадь). Для определения площади фигуры F, ограниченной кривой линией, мы подразделяем плоскость на равные квадраты со стороною ε и рассматриваем предел суммы площадей тех квадратов, к-рые покрывают фигуру F, при ε, стремящемся к нолю, как площадь этой фигуры F. Если вместо элементарной фигуры F рассматривать произвольные точечные множества, то указанный метод оказывается пригодным лишь в случае замкнутых множеств. В более общих случаях употребляется определение меры Лебега: мерой множества E называется нижний предел (см.)


площадей прямоугольников , взятый по всем системам прямоугольников , покрывающим каждая целиком множество E. Аналогично определяется линейная М. точечных множеств на прямой, только вместо прямоугольников рассматриваются интервалы, а вместо площадей прямоугольников — длины интервалов. Для фигур, встречающихся в элементарной геометрии, понятие плоской М. совпадает с понятием площади. Аналогично линейная мера интервала совпадает с длиной. Своеобразное понятие М. в более сложных случаях можно понять из следующего примера: М. интервала (0, 1) на числовой прямой равна единице, М. множества рациональных точек этого интервала равна нолю, хотя это множество всюду плотно, М. же множества иррациональных точек того же интервала равна единице. — Понятие М. лежит в основе определения интеграла Лебега (см. Интеграл) и вообще принадлежит к числу основных понятий современной теории множеств и теории функций.

Лит.: Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, 2 изд., Москва — Ленинград, 1933; Валле Пуссен де ла, Ш. Ж., Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. I — II, Ленинград — Москва, 1933. О дальнейших обобщениях см. Carathéodory С., Vorlesungen über reelle Funktionen, Lpz., 1918, 2 Aufl, Lpz., 1927.