БСЭ1/Эйлеровы интегралы

Эйлеровы интегралы
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Э — Электрофон. Источник: т. LXIII (1933): Э — Электрофон, стлб. 149 ( РГБ )

ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ, впервые изученные знаменитым математиком Л. Эйлером особого вида интегралы. Э. и. 1-го рода называют интеграл

$B(p,q)=\int \limits _{0}^{1}x^{p-1}(1-x^{q-1})\,dx~~~~~~(p>0,q>0)$

‎к-рый часто представляют также в таком виде:

$B(p,q)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{p-1}dx}{(1+x)^{p+q}}}.$

‎Э. и. 2-го рода называют интеграл

$\Gamma (p)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{p-1}\cdot dx~~~~~~(p>0).$

‎Э. и. 1-го рода потеряли свое значение после того, как была найдена формула

$B(p,q)={\frac {{\mathit {\Gamma }}(p)\cdot {\mathit {\Gamma }}(q)}{{\mathit {\Gamma }}(p+q)}},$

‎выражающая их через Э. и. 2-го рода. Э. и. 2-го рода называются также часто гамма-функциями (см.). Они получили широкое поле применения в анализе и в особенности в аналитической теории чисел (см. Чисел теория).