Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/9
← Art. 8 | Другие важные теоремы о плоских кривых. — Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 9. | Art. 10 → |
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465. |
Теорема Якоби
[править]42. Среди точек, которые полностью определяют простую кривую порядка , может быть не более чем точек, лежащих на кривой порядка .
В самом деле, если точек лежат на некоторой кривой порядка , то остающиеся
точки полностью определяют некоторую кривую порядка (§ 34), которая вмести с заданной кривой порядка составляет место порядка , проходящее через все заданные точки. Следовательно, максимальное число точек, которые можно взять произвольным образом на кривой порядка , намереваясь использовать их для задания простой кривой порядка , равно .[1] [2]
Теорема Плюкера
[править]43. Пусть теперь даны две кривые, первая — порядка , а вторая — порядка , и пусть . Если взять на кривой порядка , составленной из этих кривых, произвольным образом точек, то через них проходит бесконечное число кривых порядка , имеющих еще общих пересечений (§ 41), распределенных некоторым образом по этим двум кривым. Выбирая произвольным образом эти точек, можно взять на кривой порядка и — на кривой порядка , где — натуральные числа, подчиненные условию
|
(1.) |
Для того же, чтобы две кривые вполне определялись заданием этих точек [3], должно быть:
- , ,
откуда
- , .
Вспоминая, что величины и удовлетворяют условию 1), получаем:
- , .
Тем самым зафиксированы границы, в которых могут меняться числа . Допуская, что число лежит между нижней границей и верхней границей , а число выражается через соотношением (1), получаем следующее:
Все кривые порядка , проходящие через точек, заданных на некоторой кривой и через точек, заданных на кривой порядка , пересекают первую кривую еще в других неподвижных точках, а вторую — в других неподвижных точках.[4] [5]
43a. Из доказанной теоремы сразу следует:
Для того, чтобы через пересечений двух кривых порядка можно было провести кривую, составленную их двух кривых порядков , необходимо и достаточно, чтобы среди этих пересечений принадлежало кривой порядка , — кривой порядка .
43b. Когда число достигает своей нижней грани, доказанная выше теорема может быть выражена так:
Каждая кривая порядка , проходящая через точек, заданных на кривой порядка , пересекает ее еще в других неподвижных точках.
Иными словами:
Если среди пересечений двух кривых порядка точек лежат на кривой порядка , то эта кривая содержит и другие пересечения, а оставшиеся пересечения лежат на некоторой кривой порядка . [6]
Впрочем, эта теорема может быть обобщена следующим образом.
Теорема Кели
[править]44. Пусть даны две кривые, первая — порядка , вторая — порядка . Если среди их пересечений имеется точек, лежащих на кривой порядка , эта кривая содержит еще других пересечений; а оставшиеся пересечений лежат на некоторой кривой порядка .
В самом деле, из пересечений кривых , не общих с , возьмем [7] и проведем через них некоторую кривую порядка . Тогда получим два места порядка : одно - простую кривую , другое - составную кривую . Кривая содержит
|
(2.) |
пересечений этих двух мест, поэтому (§ 43b) содержит также и еще таких точек, а именно, точек, в которых пересекаются и , и точек, в которых пересекаются и ; остальные же точки пересечения и лежат на некоторой кривой порядка .
Из этой теоремы следует, что заданных точек, общих для трех кривых , определяют другие точки, общие этим кривым. Все эти точки полностью определены заданием кривых , , и не зависят от от ; поэтому:
Произвольная кривая порядка , проведенная через пересечений двух кривых порядков ( не больше ), проходит также через все другие точки пересечения этих кривых.[8]
Приложения
[править]45. Только что доказанные теоремы весьма важны по причине частого использования в теории кривых. Мы, однако, ограничимся рассмотрением нескольких интересных примеров.
45a. Пусть кривая порядка пересекает одну секущую в точках , а другую — в точках . Рассмотрим систему прямых как место порядка , оставшиеся пересечения этого места с заданной кривой (43, b) лежат на некоторой кривой порядка . Допустим теперь, что совпадают соответственно с ; тогда получается теорема:
Пусть в точках, в которых кривая порядка пересекает прямую, проведены касательные к кривой, тогда эти последние пересекают кривую в других точках, лежащих на некоторой кривой порядка .[9][10]
45b. Аналогично доказывается общая теорема:
Пусть точки, в которых кривую порядка пересекает другая кривая порядка , проведены касательные к первой кривой, тогда эти последние пересекают ее в других точках, лежащих на некоторой кривой порядка .
Эта теорема есть прямое следствие свойства, доказанного в § 44, нужно лишь рассмотреть совокупность касательных как место порядка , а кривую порядка , повторенную дважды, как место порядка .
45c. Пусть кривая третьего порядка проходит через вершины шестиугольника и через две из трех точек пересечения трех пар противоположных сторон, тогда и точка пересечение третьей пары противоположных сторон лежит на кривой. В самом деле, первая, третья и пятая стороны шестиугольника образуют место третьего порядка, в то же время другое место того же порядка составляют три противоположные им стороны. Новые пересечения этих двух мест — это шесть вершин шестиугольника и три точки пересечения противоположных сторон. Но восемь из этих точек по предположению лежат на заданной кривой, поэтому (41) и девятая точка лежит на этой кривой, что и тр. д.[11]
Если шесть вершин лежат кривой второго порядка, то другие три пересечения должны лежать на прямой (43b), что приводит к знаменитой теорема Паскаля:
Противоположные стороны шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой. [12]
Отсюда, по принципу двойственности, следует теорема Брианшона[13]:
Прямые, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго класса, пересекаются в одной и той же точке.
45d. Возвращаясь к шестиугольнику, вписанному в кривую третьего порядка, обозначим как 1, 2, 3, 4, 5, 6 вершины и как точки, где пересекаются пары противоположных сторон [12, 45], [23,56], [34, 61]. Если точки 1 и 2 бесконечно близки на кривой, как и точки 4 и 5, то точки 1, 3, 4, 6, являются вершинами полного четырехсторонника, а - точкой пересечения касательных к кривой в точках 1 и 4; поэтому:
Если полный четырехсторонник вписан в кривую третьего порядка, касательные к кривой, проведенные в двух противоположных вершинах, пересекаются на кривой. [14]
Пусть теперь — вершины полного четырехсторонника, вписанного в кривую третьего порядка, вершины лежат на одной прямой, а — вершины им противоположные. Касательные, проведенные в вершинах и , пересекаются в точке , лежащей по доказанному на кривой. Аналогично, касательные, проведенные в вершинах , и , , пересекаются в трех точках и , лежащих на кривой. Поскольку три точки , и лежат на одной прямой третьего порядка, то и точки , и , касательные относительно этих точек, лежат на одной прямой (39b). Таким образом, верно:
Если полный четырехсторонник вписан в кривую третьего порядка, пары касательных, проведенных в противоположных вершинах, пересекаются в трех точках кривой, лежащих на одной прямой.
Примечания
[править]- ↑ Jacobi, De relationibus, quoe locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum etc. (Журнал Крелля, Bd. 15, Berlin, 1836, S. 292)
- ↑ Утверждение сформулировано таким образом, что остается не ясным, считает ли Кремона доказанным и то, что при указанном выборе точек всегда найдется подходящая простая кривая порядка , или нет. Однако далее часто подразумевается след.: если задано несколько кривых порядков и на них произвольным образом взято точек, причем на каждой не более точек, то через них проходит единственная неприводимая кривая порядка . — Перев.
- ↑ В противном случае весь рассматриваемый пучок образован приводимыми кривыми, причем одна из кривых порядка или является их неподвижной компонентой. — Перев.
- ↑ Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 11.
- ↑ Представленное доказательство сводится к тому, что это множество всех кривых в действительности пучок, а не семейство большей размерности. Соотношение (1) показывает, что всего заданных точек
- ,
- ↑ Когда из на кривой порядка выбрано точек, то через остальные точки, которых имеется
- ,
- ↑ Очевидно, предполагается, что ; теорема не верна, напр., при , , . Далее это утверждение «продолжается» на любые натруальные числа, при которых оно имеет смысл, то есть . — Перев.
- ↑ Cayley, On the Intersection of Curves (Cambridge Mathematical Journal, vol. III, 1843, p. 211).
- ↑ Maclaurin, Ук. соч. p. 237.
- ↑ Эта теорема обобщает утверждение § 39b – Перев.
- ↑ Poncelet, Analyse des transversales, p. 132.
- ↑ Pascal, Essai pour les coniques in Oeuvres de Blaise Pascal, A La Haye. Chez Detune 1779, t. 4, p. 1-7. — См. также: Давидов, Геометрия, § 114.
- ↑ Brianchon, Journal de l'Ecole Polytechnique, cah. 13, pag. 301, Paris 1806.
- ↑ Maclaurin, Ук. соч. p. 237.