Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/8

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Поризмы Шаля и теорема Л. Карно. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 8.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


Поризмы Шаля[править]

Фиг. 6.

36. Пусть дан треугольник (фиг. 6.). Произвольная точка на однозначно определяется заданием отношения ; и аналогично, произвольная точка на  — заданием отношения . Проведем прямые , и пусть они пересекаются в точке , которая, следовательно, однозначно определяется заданием двух отношений , которые называются координатами точки . Прямая пересекает в , от чего происходит третье отношение . Эти три отношения связаны простым соотношением, поскольку, в силу известной теоремы Чевы[1], верно:

.

Когда точка лежит на одной из двух прямых , одна из двух координат равна нулю. Если же лежит на , обе координаты становятся бесконечно велики, но их отношение остается конечным, и именно равным .

Предположим, что точка движется по некоторой заданной прямой, при этом точки и пробегают на и два проективных пунктуала, то есть одному положение точки отвечает одно единственное положение точки и наоборот. Поэтому отношения , полностью определяющие положения двух точек , связаны уравнением первой степени относительно каждого из них. Поскольку в точке, в которой данная прямая пересекает , оба отношения обращаются в бесконечность, то это уравнение неизбежно должно иметь следующий вид:

.[2]
(1.)

Это соотношение между координатами произвольной точки на данной прямой называют уравнением прямой.

Выясним теперь, какую форму имеет соотношение между координатами точки , если последняя движется, описывая некоторую кривую порядка . Произвольная прямая, уравнение которой дается соотношением (1), пересекает эту кривую в точках; следовательно, искомое соотношение и уравнение (1) должны оба удовлетворяться в парах значений координат ; по этой причине необходимо требуется, чтобы искомое уравнение было степени относительно координат рассматриваемой подвижной точки.

Таким образом, если точка описывает кривую порядка , подвижные координаты точки связаны постоянным соотношением вида :

,
(2.)

которое может быть названо уравнением кривой-места подвижной точки.

Наоборот: если точка движется таким образом, что ее координаты связаны постоянным соотношением вида (2), место точек представляет собой кривую порядка .

37. Рассмотрим опять треугольник (фиг. 7); точка на , однозначно определенная заданием отношения , и точка на , однозначно определенная заданием отношения , задают прямую , которая, следовательно, однозначно определенная заданием двух отношений , .

Фиг. 7.

Эти два отношения называются координатами прямой. Пусть эта прямая пересекает в третьей точке , что дает повод к составлению третьего отношения . В силу известной теоремы Менелая[3], эти три отношения связаны простым соотношением:

.

Если прямая проходит через одну из точек или , одна из двух ее координат обращается в нуль. Если же прямая проходит через точку , обе эти координаты становятся бесконечно велики, но отношение остается конечным.

Предположим, что прямая движется, вращаясь вокруг заданной точки. Тогда точки описывают два проективных пункутала, и поэтому координаты прямой связаны уравнением первой степени относительно обеих координат. Поскольку, когда подвижная прямая проходит через , обе координаты обращаются в бесконечность, это уравнение имеет вид:

.
(1'.)

Это соотношение между координатами прямой, вращающейся вокруг заданной точки, можно назвать уравнением точки (рассматриваемой как оболочку подвижных прямых).

Предположим теперь, что прямая движется, огибая кривую класса ; опишем вид соотношения, связывающее координаты подвижной прямой. Через произвольную точку, уравнением которой пусть будет (1'), проходит касательных к кривой, то есть положений подвижной прямой. Следовательно, искомое соотношение и уравнение 1') должны вмести удовлетворяться при парах значений координат. Это возможно только тогда, когда искомое соотношение имеет степень относительно обеих рассматриваемых координат.

Таким образом, если прямая движется, огибая кривую класса , ее подвижные координаты связаны постоянным соотношением вида:

,
(2'.)

которое можно назвать уравнением оболочки подвижных прямых, огибающих кривую.

Наоборот: если прямая движется таким образом, что ее координаты все время удовлетворяют соотношению вида (2'), оболочка этих прямых образует кривую класса .

Два поризма, доказанные в этом и предыдущем параграфе, были установлены г-ном Шалем[4].

Теоремы Карно[править]

38. Вернемся к уравнению 2). Для точек , в которых кривая, описываемая этим уравнением, пересекает прямую , координата равна нулю, вторая же координата удовлетворяет тому же уравнению при . Откуда:

Аналогично, для точек , в которых кривая пересекает , получается уравнение:

Разделим теперь уравнение (2) на и применим теорему Чевы, тогда получим:

,

полагая здесь , получим точки , общие для кривой и прямой ; отсюда:

.

Перемножая три только что полученные соотношения, получим:

,
(3.)

это соотношение выражает знаменитую теорему Л. Карно [5]:

Если кривая порядка пересекает стороны треугольника в точках на , на , на , верно соотношение (3).

Эта теорема может быть применена также и к любому многоугольнику.

39. При теорема Л. Карно сводится к теореме Менелая. При она дает свойство шести точек кривой второго порядка. Поскольку кривая второго порядка полностью определяется заданием пяти точек (34), верна и обратная теорема теорема:

Если на сторонах треугольника задано шесть точек , удовлетворяющих условию:

,
(4.)

то эти шесть точек лежат на некоторой кривой второго порядка.

Если точки совпадают соответственно с точками , то есть кривая касается сторон треугольника в точках , то последнее соотношение дает:

.

Неоднозначность со знаком, появившаяся после извлечения корня, может быть устранена: если бы в этом соотношении действительно мог стоять знак плюс, то в силу теоремы Менелая три точки лежали бы на одной прямой, что невозможно, поскольку <простая> кривая второго порядка не может пересекать прямую более чем в двух точках. Таким образом, верно

,

это, в силу теоремы Чевы, означает, что прямые пересекаются в одной и той же точке. Следовательно, если кривая второго порядка вписана в треугольник, то прямые, соединяющие вершины треугольника и точки касания на противоположных сторонах пересекаются в одной точке.

39a. При теорема Л. Карно утверждает, что стороны треугольника пересекают кривую третьего порядка (коротко называемую кубикой, итал. cubica) в девяти точках , делящих эти стороны в отношениях, удовлетворяющих соотношению:

.
(5.)

Если шесть точек лежат на кривой второго порядка, то они удовлетворяют соотношению (4), разделив на него уравнение (5), получим:

,

это означает, что точки лежат прямой. И наоборот, если точки лежат на прямой, то оставшиеся шесть точек лежат на кривой второго порядка.

39b. [Обратившись к случаю,] когда место второго порядка сводится к системе, образованной двумя совпадающими прямыми, имеем:

Если в точках, в которых кубика пересекает заданную прямую восстановить касательные, то они они будут пересекать кривую еще в других трех точках, лежащих на одной прямой. [6]

Если прямая касается кубики в точке , а затем еще пересекает ее в точке , эта вторая точка называется касательной относительно первой точки. Тогда предыдущую теорему можно выразить так: если три точки кубики лежат на прямой , их касательные точки лежат на другой прямой .

Эта прямая называется прямой-спутником (итал. retta sattelite) исходной прямой (итал. retta primaria), а точка пересечения прямых и точкой-спутником (итал. punto satellite) прямой .

Если прямая касается кубики, ее точка-спутник совпадает с касательной точкой относительно точки касания, а прямая-спутник — с касательной к кубике в точке-спутнике.

39c. Предположим, что прямая является стационарной касательной к кубике (§ 29), тогда:

Если в точке перегиба кубики провести три произвольные секущие, то эти последние пересекаю кубику в шести новых точках, лежащих на кривой второго порядка.

Следовательно, если три из этих шести точек лежат на одной прямой, то три другие лежат на другой прямой, откуда:

Если через точку перегиба провести три касательные к кубике, то точки касания окажутся на одной прямой.[7]

39d. Выше мы предполагали, что точки лежат на одной прямой, а другие шесть точек — на кривой второго порядка; пусть теперь к тому же три из них, скажем , совпадают, тогда верно:

Если три секущие, проведенные из одной точки , лежащей на кубике, пересекают ее в трех точках , лежащих на одной прямой, и еще в других трех точках , то кубика пересекается в точке с кратностью 3 с некоторой кривой второго порядка, проходящей через точки . [8]

Допустив, что точки совпадают в точке перегиба, из предыдущей теоремы получаем:

Любая секущая, проведенная из точки перегиба кубики, пересекает ее в двух точках, в которых эта кривая имеет пересечение кратности 3 с одной и той же кривой 2-го порядка.[9]

Отсюда в частности имеем:

Если через точку перегиба кубики провести прямую, касающуюся ее в другой точке, то в этой точке кубика имеет пересечение кратности 6 с некоторой кривой 2-го порядка.[10]

40. Рассмотрим теперь кривую-оболочку класса , представленную уравнением (2'). Можно найти все касательные к этой кривой, проходящие через , положив здесь ; получившееся таким образом уравнение укажет координаты точек , в которых сторона пересекает касательные, проходящие через . Поэтому:

.

Аналогично, для точек , в которых сторона пересекает касательные, проходящие через , имеем:

.

Разделив теперь уравнение (2') на , и использовав соотношение

,

получим:

.

Положив в этом уравнении , получим координаты точек , в которых пересекает касательные, проходящие через . Следовательно,

.

Перемножая три полученные соотношения, имеем:

.
(3'.)

Таким образом, доказана теорема:

Если провести через вершины треугольника касательные к кривой класса , то они пересекают противоположные стороны в точках , делящих стороны таким образом, что верно соотношение (3').[11]

При это утверждение сводится к теореме Чевы. При получается некоторое свойство шести касательных кривой 2-го класса, из которого можно вывести следующее утверждение: если такая кривая описана около треугольника, то касательные к ней, проведенные в вершинах треугольника, пересекают противоположные стороны в трех точках, лежащих на одной прямой.[12] И т.д.

41. Пусть , - два уравнения, подобные (2) и описывающие две кривые порядка . Обозначим как произвольную величину, тогда уравнение описывает, очевидно, некоторую другую кривую порядка . При тех значениях координат , в которых обращаются в нуль и , и , обращается в нуль и ; поэтому все пересечений двух кривых и принадлежат кривой .[13] Поскольку же это последнее уравнение представляет кривую порядка для каждого из бесконечного числа значений и это значение может быть выбрано произвольным образом, верна теореме:

Через пересечений двух кривых порядка проходит бесконечное число кривых того же порядка.

В § 34 было доказано, что кривая порядка полностью определяется заданием условий. Из предыдущей теоремы следует, что через точек проходит, в общем, одна единственная кривая порядка . В самом деле, если бы через эти точки проходило две кривые одного порядка, то в силу последней теоремы, проходило бы и бесконечно много таких кривых.

Через заданных точек (§ 34) проходит бесконечное число кривых порядка , две из них пересекаются еще в

других точках, которые, следовательно, принадлежат также всем другим кривым, проходящим через заданные точки. Иными словами:

Через заданных точек в общем случае проходит бесконечное число кривых порядка , которые, кроме заданных точек, пересекаются еще в других точках, положение которых полностью определено. [14]

Произвольная из этих кривых полностью определяется заданием одной точки, добавляемой к данным, то есть среди бесконечного числа кривых, проходящих через данных точек, имеется одна единственная, проходящая еще и через одну точку, выбранную произвольным образом. В следствии этого, индекс ряда, образованного этим бесконечным числом кривых (§ 34), равен 1. Будем называть такой ряд пучком (итал. fascio); под пучком порядка условимся понимать бесконечную систему кривых этого порядка, проходящих через точек, заданных произвольным образом[15], и еще через других точек, положение которых полностью определено заданием первых. Множество пересечений кривых пучка называется базой (итал. base) пучка.

Аналогичные свойства обнаруживают и кривые заданного класса. общих касательных двух кривых класса касаются бесконечного числа кривых того же класса. Но имеется лишь одна единственная кривая класса , касающаяся прямых, взятых произвольным образом. Все кривые класса , имеющие общих касательных, имеют еще общих касательных, положение которых полностью определено заданием первых.

Примечания[править]

  1. Шаль М., О сочинении Чевы... , прим. VII к «Историческому обзору». М., 1883. — Перев.
  2. Ср. (1) § 8 - Перев.
  3. Шаль М., О теореме Птоломея..., прим. VI к «Историческому обзору». М., 1883. — Перев.
  4. Шаль М., О поризмах Евклида, прим. III к «Историческому обзору» (Брюссель, 1837 г.). См. также его Lettre à M. Quetelet. Correspondance mathématique et physique, t. VI, pag. 81, Bruxelles 1830.
  5. Carnot, Géométrie de position, Paris 1803, p. 291, n. 235, а также p. 436, n. 378.
  6. См. трактат Маклорена о кривых 3-го порядка в переводе Жонкьера: Jonquières, Melanges de geometrie pure, Paris 1856, p. 223.
  7. Маклорен, ук. соч. p. 226.
  8. Определение трехточечного касания, данное в § 32, получает здесь важно дополнение. Приняв интерпретацию, предложенную выше в прим. 3 к Art. 5, следует считать, что  — различные, следующие друг за другом на кубике. Проведем произвольную прямую, и обозначим точки ее пересечения с кубикой как , соединим эти точки попарно с . В результате получим треугольник, применив к которому теорему Л. Карно, видим, что существует кривая 2-го порядка, проходящая через и еще три точки , в которых стороны треугольника пересекают кубику. Эта кривая 2-го порядка и кубика пересекаются в 6 точках, причем точки кубики следуют друг за другом на кубике и поэтому считаются как одна точка пересечения кратности 3. При этом считается очевидным, что эти точки следуют друг за другом и на кривой 2-го порядка, и что три прямые треугольника проходят через точку пересечения (хотя первая проходит только через , вторая — через , третья — через ). Замечательно, что каждая прямая треугольника пересекает кривую 2-го порядка в двух различных точка, напр., первая в и , но не в , и поэтому «совпадение» точек не приводит к тому, что прямая пересекает кривую 2-го порядка в 4-х точках. — Перев.
  9. Poncelet, Analyse des transversales (Журнал Крелля, Bd. 8, Berlin, 1832, p. 129-135).
  10. Plücker, Ueber Curven dritter Ordnung und analytische Beweisführung (Журнал Крелля, Bd. 34, Berlin, 1847, p. 330).
  11. Chasles, Géométrie supérieure, Paris 1852, p. 361.
  12. Это утверждение — двойственное к приведенному в конце § 39. — Перев.
  13. Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, Paris 1818, p. 28.
  14. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, 1. Bd., Essen 1828, p. 229.
  15. Здесь возможно вырождение, см. след параграф. – Перев.