Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание VI/ДО

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg

Примѣчаніе VI : О теоремѣ Птоломея относительно треугольника, пересеченнаго трансверсалью.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ
Языкъ оригинала: французскій. Названіе въ оригиналѣ: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Дата созданія: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание VI/ДО въ новой орѳографіи


О теоремѣ Птоломея относительно треугольника, пересеченнаго трансверсалью.

Примѣчаніе къ n° 22


[28]Эта теорема неправильно называется Птоломеевой, такъ какъ она встрѣчается еще въ Сферикѣ Менелая, откуда ее и заимствовалъ [29]Птоломей. Но такъ какъ Альмагестъ гораздо болѣе распространенъ и извѣстенъ, нежели Сферика, то ее всегда находили только въ первомъ изъ этихъ сочиненій и потому ошибочно приписывали Птоломею.

Паппъ доказалъ эту теорему и пользовался ею въ восьмой книгѣ Математическаго Сооранія для доказательства любопытнаго предложенія о центрѣ тяжести трехъ тѣлъ, движущихся по тремъ сторонамъ треугольника; въ XVI вѣкѣ Пурбахъ и Регіомонтанъ помѣстили ее въ изданномъ ими сокращеніи Альмагеста[1] и потому она въ то время была извѣстна кажется всѣмъ геометрамъ; ее употребляли для геометрическаго доказательства правила шести количествъ: Oronce Finé въ своей ариѳметикѣ[2] и Stiffel въ алгебрѣ[3]. Въ то же время Cardan[4], Gemma Frisius[5], J. Schöner[6] указывали ее въ Альмагестѣ для той же цѣли, но не строили чертежа[7]; Maurolycus пользовался ею какъ леммой, [30]для доказательства свойствъ асимптотъ гиперболы[8] и Bressius — для вывода различныхъ формулъ тригонометріи[9].

Въ XVII столѣтіи приложенія теоремы были еще болѣе многочисленны и разнообразны. Мерсеннъ въ двухъ своихъ сочиненіяхъ помѣстилъ ее между главными предложеніями сферики Менелая[10]). Стевинъ пользовался ею въ Практической ариѳметикѣ при составленіи сложныхъ отношеній, чтобы на этомъ примѣрѣ показать, что въ извѣстныхъ вопросахъ геометрія можетъ доставлять болѣе быстрое рѣшеніе, нежели алгебра; Снеллій при помощи этой теоремы рѣшилъ 35-й вопросъ сочиненія Van Ceulen: Zetemate Geomertica[11]; Богранъ употреблялъ ее въ своей Геостатикѣ для составленія отношеній между линіями; Дезаргъ пользовался ею для доказательства прекраснаго геометрическаго свойства треугольниковъ, которое находится въ продолженіи его Traité de perspective, изданномъ Боссомъ (1648, in — 8°); Паскаль въ Essai pour les coniques помѣстилъ ее въ число главныхъ теоремъ, на которыхъ долженъ былъ основываться его полный трактатъ [31]объ этихъ кривыхъ; Шутенъ въ сочиненіи De concinnandis demonstrationibus etc. доказалъ ее синтетически и посредствомъ анализа; около того же времени итальянскій писатель Гуарини употреблялъ ее также, какъ и Богранъ, для составленія отношеній между линіями[12]. Нѣсколько лѣтъ спустя, другой итальянскій геометръ, имѣющій нѣкоторую извѣстность въ наукѣ, маркизъ Чева нашелъ самъ, весьма остроумнымъ и оригинальнымъ способомъ, эту теорему и еще другую такого же рода, которая также есть одна изъ основныхъ въ теоріи трансверсалей и изобрѣтателемъ которой до сихъ поръ считали Ивана Бернулли. Сочиненіе Чевы, въ которомъ находятся эти двѣ теоремы и еще нѣкоторыя другія, заслуживающія вниманія, носитъ заглавіе: De lineis se invicem secantibus, statica constructio. Milan, 1678 in — 4°. Въ слѣдующемъ Примѣчаніи мы познакомимъ читателей съ методомъ, которымъ отличается это сочиненіе.

Послѣ этого времени мы не встрѣчаемъ болѣе даже слѣдовъ теоремы Птоломея, которая около двухъ столѣтій была въ большомъ употребленіи и извѣстна всѣмъ геометрамъ, но потомъ болѣе вѣка оставалась безплодною и, можетъ быть, даже совсѣмъ неизвѣстною, до того времени, когда Карно, нашедшій самъ эту теорему вмѣстѣ съ многими другими подобными ей и относящимися къ плоскому четыреугольнику, не указалъ на нее, какъ на одну изъ самыхъ полезныхъ и богатыхъ теоремъ раціональной геометріи. Мы однако должны замѣтить, что еще за нѣсколько лѣтъ до этого Шубертъ привелъ эту теорему въ видѣ леммы къ сферической тригонометріи Птоломея[13], и что другой геометръ, на сѣверѣ, Фуссъ[14], также пользовался ею, вмѣстѣ съ соотвѣтствующею теоремой на сферѣ, для доказательства нѣкоторыхъ предложеній, напримѣръ для доказательства прекраснаго свойства круга, которое Фуссъ приписываетъ Даламберту, именно, что «точки [32]встрѣчи общихъ касательныхъ къ тремъ кругамъ взятымъ попарно, лежатъ на одной прямой».

Изъ названныхъ нами авторовъ только Мерсеннъ показалъ, что теорема принадлежитъ Менелаю; большею частію ее приписывали Птоломею; нѣкоторые же писатели не указывали вовсе ея происхожденія, таковы: Мавроликъ, Дезаргъ, Паскаль и Чева; послѣдній, по всей вѣроятности, открылъ ее самъ.

Флаути (Flauti) въ Geometria di sito уже указалъ на употребленіе, какое сдѣлалъ Паппъ изъ этой теоремы въ восьмой книгѣ Математическаго Cобранія. Наши указанія на Мавролика и Шуберта мы заимствовали изъ мемуара Бріаншона sur les lignes du second ordre, а указаніена Дезарга — изъ Traité des propriétés projectives Понселе. Мы не сомнѣваемся, что могутъ найтись еще многія указанія, кромѣ тѣхъ, которыя мы прибавили уже къ этимъ первоначальнымъ; потомучто теорема, о которой мы говоримъ, была вѣроятно хорошо извѣстна Арабамъ, такъ какъ соотвѣтственная теорема на сферѣ, доказываемая при ея помощи, была ими комментирована и прославлена во многихъ сочиненіяхъ; для европейскихъ математиковъ, получившихъ эти теоремы отъ Мавровъ, онѣ сдѣлались также предметовъ размышленій. Таковъ, напримѣръ, Симонъ Бредонъ, англичанинъ ХIV вѣка, многія сочиненія котораго объ этомъ предметѣ хранятся въ Бодлейянской библіотекѣ (Восііёіептіе); объ этомъ говоритъ ученый Галлей въ своемъ переводѣ Сферики Менелая.

Что касается до происхожденія этихъ двухъ теоремъ, то оно вѣроятно восходитъ до Гиппарха, который прежде Птоломея и Менелая занимался вычисленіемъ хордъ и тригонометріей. Очень понятно, что этотъ знаменитый астрономъ выводилъ свойства сферическаго треугольника изъ свойствъ треугольника на плоскости: но какія геометрическія соображенія могли вести его къ этимъ послѣднимъ? Мы склонны даже думать, что открытіе теоремы о плоскомъ треугольникѣ восходитъ до Евклида и что она составляла часть его поризмъ, потомучто она совершенно въ томъ же родѣ, какъ и всѣ разнообразныя леммы, къ поризмамъ оставленныя намъ Паппомъ; намъ кажется, что одна изъ этихъ леммъ (137-я теорема седьмой книги Математическаго Собранія), отличающаяся [33]отъ самой теоремы только тѣмъ, что одно отношеніе отрѣзковъ замѣнено въ ней другимъ, назначалась для облегченія доказательства этой теоремы.

Мы смѣло высказываемъ такое предположеніе, потомучто теоема эта самымъ естественнымъ образомъ помѣщается въ ряду другихъ однородныхъ съ нею предложеній, которыя соединены нами въ группу, соотвѣтствующую, по нашему мнѣнію, первой книгѣ поризмъ Евклида.

Примѣчанія.

  1. Cl. Ptolemaei Alexanirini in magnam constructionem, G. Purbachii cujusque discipuli J. de Regiomonle astronomicon epitoma. Venetiis, 1496, in fol.
  2. Arithmetica practica, libris quatuor absoluta, etc. 1533, in fol., lib. 4, cap. 4.
  3. Arithmetica integra. Norimbergae, 1544, in — 4, lib. 3, p. 294.
  4. Practica arithmetica, et mensurandi singularis. Mediolani, 1539, in — 8°, cap. XLVI. Opus novum de proportionibus numerorum, etc. Basileae, 1570, in fol., prop 5.
  5. Arithmeticae practicae methodus facilis. Antwerpiae, 1540, in — 8°.
  6. Algorithmus demonstratus. Norimbergae, 1534, in — 4°, de proportionibus appendix.
  7. Правило шести количествъ служитъ къ рѣшенію слѣдующаго вопроса: отношеніе перваго количества ко второму дано, какъ составное изъ отношеній третьяго къ четвертому и пятаго къ шестому; требуется опредѣлить отношеніе втораго, или третьяго, или пятаго, къ одному изъ трехъ остальныхъ. Если будутъ эти шесть количествъ, то
    и требуется отсюда вывести отношеніе одного изъ трехъ количесть къ одному изъ трехъ другихъ . Въ такой алгебраической формѣ вопросъ этотъ безъ сомнѣнія такъ простъ, какъ только можно себѣ представить, и трудно бы было повѣрить, что, напримѣръ, Карданъ могъ посвятить ему довольно много страницъ въ вышеприведенныхъ двухъ сочиненіяхъ, если бы мы не приняли во вниманіе, что это правило есть обобщеніе правила пропорціи четырехъ количествъ, которое изъ него получается напримѣръ при . Но это послѣднее правило до изобрѣтенія алгебры, и даже позднѣе, представляло всегда самый трудный и, такъ сказать, трансцендентный отдѣлъ въ курсахъ ариѳметики, по причинѣ стариннаго обозначенія пропорцій, въ которомъ вмѣсто одного знака, выражающаго равенство двухъ отношеній, употреблялось три знака. Это обозначеніе, несмотря на очевидныя невыгоды и неудобства, употребляется и въ наше врема многими писателями. Карданъ приписываетъ правило шести количествъ арабскому геометру Алкинду (X вѣка), котораго онъ считаетъ вь числѣ величайшихъ геніевъ, существовавшихъ со времени происхожденія наукъ (См. De subtiletate, lib. XVI.) Дѣйствительно, въ Bibliotheca Arabico—Hispane Казири мы находимъ весьма длинный списокъ сочиненій, написанныхъ Алкиндомъ по всѣмъ отдѣламъ наукъ математическихъ, философскихъ, нравственныхъ и пр. Сочияенія эти еще полвѣка тому назадъ существовали въ богатой библіотекѣ Эскуріала.
  8. F. Maurolyci opuscula mathematica. Venetiis, 1575, in — 4°, pag. 281.
  9. Metrices astronomicae libri quatuor. Paris. 1581, in fol, lib. 4, prop 13.
  10. Synopsis mathematica. Paris, 1626, in — 24. Universae geometriae, mixtaeque mathematicae synopsis, etc. Paris, 1644, in — 4°
  11. Математическія сочиненія Ludolphe Van Ceulen, переведенныя съ голландскаго на латинскій языкъ и дополненныя примѣчаніями Снелліемъ. Leyde. 1619, pag. 120.
  12. Euclides adauctus et methodicus, mathematicaque universalis. Aug. Taurinorum, 1671, in fol. pag. 249.
  13. Trigonometria sphaericae Ptoiemaeo; Nova Acta Petropolitana, ann. 1794. t. XII, p. 165.
  14. Nova Acta Petropolitana, ann 1797 et 1798, t. XIV.